Üstten sınırlı ve artan bir dizinin limiti vardır.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
249 kez görüntülendi

Gosteriniz: usten (alttan) sinirli  ve artan (azalan) bir dizinin limiti vardir. 

Bu kosullardan biri eksik oldugunda limitin var olmadigi ornekler veriniz.

bir cevap ile ilgili: Limit
4, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,566 puan) tarafından  soruldu
5, Eylül, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Monoton yakınsaklık teoremi değil miydi bu?

Evet.           

Çalıştığımız topolojik uzayın tamlık koşulu olmazsa doğru değil, ama sanırım otomatik olarak gerçel sayılarda çalştığımızı varsaydın :)

Evet gercel sayilar. Tamlik ya da en azindan dizinin supremumunu icermesi sart.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$(a_n)$ artan ve üstten sınırlı bir dizi olsun.

$A=\{a_n: n\in\mathbb{N} \}$ olsun ($A$; boş olmayan (niye?) üstten sınırlı (niye?) bir kümedir. $\mathbb{R}$ nin tamlığından bir en küçük üst sınırı (supremumu) vardır.) $L=\sup A$ diyelim ve $\lim (a_n)=L$ olduğunu gösterelim.

$\varepsilon>0$ verilsin. $L-\varepsilon$ dizi için bir üst sınır olmadığı için (neden?) $a_N>L-\varepsilon$ olacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ vardır. Şimdi $n\geq N$ ise $a_n\geq a_N$ olur (neden?) Buradan:

$a_N\leq a_n<L$ ve $a_N>L-\varepsilon$ eşitsizliklerinden

$|a_n-L|<\varepsilon$ elde edilir.  (Siz gösterin)

12, Eylül, 2015 DoganDonmez (3,302 puan) tarafından  cevaplandı
2, Ekim, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
...