(an) artan ve üstten sınırlı bir dizi olsun.
A={an:n∈N} olsun (A; boş olmayan (niye?) üstten sınırlı (niye?) bir kümedir. R nin tamlığından bir en küçük üst sınırı (supremumu) vardır.) L=sup diyelim ve \lim (a_n)=L olduğunu gösterelim.
\varepsilon>0 verilsin. L-\varepsilon dizi için bir üst sınır olmadığı için (neden?) a_N>L-\varepsilon olacak şekilde bir N\in\mathbb{N} vardır. Şimdi n\geq N ise a_n\geq a_N olur (neden?) Buradan:
a_N\leq a_n<L ve a_N>L-\varepsilon eşitsizliklerinden
|a_n-L|<\varepsilon elde edilir. (Siz gösterin)