$\int_0^\pi\:\sqrt[n]{\csc(x)}\:dx$ integralini çözün

Question

$$\int_0^\pi\:\sqrt[n]{\csc(x)}\:dx\\\:\\n\in\mathbb{R}$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\pi\:\sqrt[n]{\csc(x)}\:dx$$

$\frac{x}{2}=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\:\sqrt[n]{\csc(2u)}\:du$$

$\csc(2u)$ ifadesini yarım açı ile açalım.

$$2^{1-\frac{1}{n}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\:\sin^{-\frac{1}{n}}(u)\:\cos^{-\frac{1}{n}}(u)\:du$$

İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$2^{-\frac{1}{n}}B\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\bigg)$$

$$2^{-\frac{1}{n}}\frac{\Gamma^2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\Big)}{\Gamma\Big(1-\frac{1}{n}\Big)}$$

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\pi\:\sqrt[n]{\csc(x)}\:dx=\frac{\Gamma^2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\Big)}{\sqrt[n]{2}\:\Gamma\Big(1-\frac{1}{n}\Big)}}}$$