Rusça bir sitede okuduğum kadarıyla Eulerin probleme yaklaşımı şu şekildeymiş
$x^4+mx^3+nx^2+px+q=0$ polinomunun sıfırdan farklı kökleri a,b,c,d olsun bu polinomu şöyle yazabiliriz $(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)=0$ ve kökleri 0 dan farklı kabul ettiğimiz için bu polinomu $a.b.c.d$ ye bölelersek şu denklemi elde ederiz $$(1-\frac{x}{a})(1-\frac{x}{b})(1-\frac{x}{c})(1-\frac{x}{d})=0$$ şimdide iyi bilinen $$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$$ serisini , yukarıdaki çıkarımı kullanarak ve sinüs fonksiyonunun köklerinin $0\pm \pi,\pm 2\pi$ olduğunu hatırlayarak $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi}(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})...$$ yazabililriz buda iki kare farkı kullanarak $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^4}{\pi^4})(1-\frac{x^9}{\pi^9})$$ bulunur burdan sonrada soruya şu şekilde yaklaşmış $(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf$ olduğunu biliyoruz dikkat ederseniz $ace$ ifadesi her çarpanın ilk terimlerinin çarpılması ile elde ediliyor benzer şekilde $bdf$ son terimlerin çarpımı bu gözleme dayanarak yukarıdaki ifadeyi $(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{9}-\frac{1}{16}-...)(\frac{1}{\pi^2})x^2$ ve son olarak $x^2$ katsayısının $-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$ olması gerektiğini düşünerek sonucu bulmuş