Eliptik koordinat sistemi nedir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
198 kez görüntülendi
1, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Konuyu dönüp dolaştırıp matematiksel fizikteki bir örneğe getirip, onun üzerinden güdümleyerek yanıt vermek istiyorum. (Zaten etiket olarak da böyle bir yem konulmuş sanki:))

İki atomlu -çekirdekleri $R_1$ ve $R_2$ yerleşkelerinde olmak üzere- tek elektronlu hidrojen molekülünü (=$\text{H}_2^+$ iyonu, yani çekirdek yükleri $Z_1=Z_2=1e$=1 temel yük) ele alalım.

Born-Oppenheimer yaklaşımını yaparsak ($\Rightarrow$ dalga fonksiyonunu birbirinden bağımsız elektron ve çekirdek Schrödinger denklemlerine ayrılabilirse) elektronun dalga fonksiyonunu bulmak için şurada tanımlı $H_{1,(1e,1e)}$'li Schrödinger denklemi yerine daha kolay  $H_{BO}^{\text{H}_2^+}=t_1+V_C=-\frac{\hbar^{2}}{m_e}\triangle_{{x_1}}-\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{\vert x_1-R_1\vert}-\frac{1}{\vert x_1-R_2\vert}+\frac{1}{\vert R_1 -R_2 \vert})$ Hamiltonyenli olanını,$H_{BO}^{\text{H}_2^+}\psi_e=E\psi_e$'yi çözmemiz yeterlidir. Elektronun en düşük yörüngeseli (ingl. orbital) problemin simetrisinden dolayı  bir elipsoyit (=seçeceğimiz koordinat sisteminde en rahat betimlenilen cisim) olmalı düşüncesiyle Kartezyen koordinat sisteminden eliptik koordinat sistemine*  geçiyoruz, $R:=\vert R_1 -R_2 \vert$, $r_1:=\vert x_1-R_1\vert$, $r_2:=\vert x_1-R_2\vert$ ile

$\fbox{$\mu(x_1,R_1,R_2)=\frac{r_1+r_2}{R}$}$ (=eliptik çizgiler, elipsin tanımı için bkz.)

$\fbox{$\nu(x_1,R_1,R_2)=\frac{r_1-r_2}{R}$}$ (=hiperbolik çizgiler, hiperbolün tanımı için bkz. )

$\fbox{$\phi(x_1)=arctan(\frac{y_{x_1}}{x_{x_1}})$}$ (=azimut açısı, küresel koordinat sistemindekiyle aynı)

$R_1,R_2$ ile bağıntılarını yukardaki gibi olmasına rağmen Schrödinger denklemini çözebilmemiz için,  Laplace işlemcisini eliptik koordinat sisteminde yazmamız gerekiyor ama onun sadece Kartezyen koordinat sistemindeki yazılışını biliyoruz (artık ${x}_1$ damgasını yazmayacağım):
$\triangle=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$.

Yani ilk olarak $R_1,R_2$ ile $x,y,z$ arasındaki ilişkiyi bulmamız lazım. Bu sebeple atom çekirdeklerimiz için örn. aşağıdaki Kartezyen koordinat sistemini seçelim.

image

O zaman
$r_1=\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-\frac{R}{2})^{2}}$
$r_2=\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+\frac{R}{2})^{2}}$'yi görebiliyoruz, ayrıca $\mu$ ve $\nu$ denklemlerini kullanarak

$r_1=\frac{R}{2}(\mu+\nu)$
$r_2=\frac{R}{2}(\mu-\nu)$

 eşitliklerini de bulalım. Bu dört denklemle -toplama/çıkarma yaparak-
 
 $(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(\mu^{2}+\nu^{2})(\frac{R}{2})^{2}-(\frac{R}{2})^{2}$
 
 $(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(\frac{R}{2})^{2}(\mu^{2}+\nu^{2}-1)$
ve
$\fbox{z=$-\frac{R \mu\nu}{2}$} $(1)

ortaya çıkıyor.Bunları eğer $\phi=arctan(\frac{y}{x})$ üzerinde kullanırsak:

$\fbox{$x=\frac{R}{2}cos\phi\sqrt{(\mu^2-1)(1-\nu^{2})}$}$(2) ve

$\fbox{$y=\frac{R}{2}sin\phi\sqrt{(\mu^2-1)(1-\nu^{2})}$}$(3).

Not: *'ın gerçekten bir elipsoyit şeklinde olduğunu görebilmek için (1-3)'ü elipsoyit denklemiyle karşılaştırın: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}, a,b,c>0$.

Şimdi Laplace işlemcisi zincir kuralına -$\frac{\partial}{\partial x}=(\frac{\partial\mu}{\partial x})_{y,z}(\frac{\partial}{\partial\mu})_{\nu,\phi})+
(\frac{\partial\nu}{\partial x})_{y,z}(\frac{\partial}{\partial\nu})_{\mu,\phi})+
(\frac{\partial\phi}{\partial x})_{y,z}(\frac{\partial}{\partial\phi})_{\nu,\mu})
$ vb.- göre (bayağı zaman alsa da) hesaplanabilir:

$\triangle=\frac{1}{\left( \frac{R}{2}\right)^{2}(\mu^2-\nu^2)}\left( \frac{\partial}{\partial\mu}((\mu^{2}-1)\frac{\partial}{\partial\mu})+\frac{\partial}{\partial\nu}((\nu^{2}-1)\frac{\partial}{\partial\nu})+\frac{\mu^{2}-\nu^{2}}{(\mu^{2}-1)(1-\nu^{2})}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}\right)$

Not: Eliptik koordinat sistemi Laplace işlemcisini ayırabileceğimiz 13 koordinat sisteminden biridir (2B'de kutupsal, 3B'de silindirik, küresel vs.).

Geriye ayrılabilir bir dalga fonksiyonu çözümünü $\psi(\mu,\nu,\phi)=M(\mu)N(\nu)P(\phi)$ yeni Schrödinger denklemine koyup çözmek kalıyor...

12, Eylül, 2015 fiziksever (1,168 puan) tarafından  cevaplandı
...