Konuyu dönüp dolaştırıp matematiksel fizikteki bir örneğe getirip, onun üzerinden güdümleyerek yanıt vermek istiyorum. (Zaten etiket olarak da böyle bir yem konulmuş sanki:))
İki atomlu -çekirdekleri R1 ve R2 yerleşkelerinde olmak üzere- tek elektronlu hidrojen molekülünü (=H+2 iyonu, yani çekirdek yükleri Z1=Z2=1e=1 temel yük) ele alalım.
Born-Oppenheimer yaklaşımını yaparsak (⇒ dalga fonksiyonunu birbirinden bağımsız elektron ve çekirdek Schrödinger denklemlerine ayrılabilirse) elektronun dalga fonksiyonunu bulmak için şurada tanımlı H1,(1e,1e)'li Schrödinger denklemi yerine daha kolay HH+2BO=t1+VC=−ℏ2me△x1−e24πϵ0(1|x1−R1|−1|x1−R2|+1|R1−R2|) Hamiltonyenli olanını,HH+2BOψe=Eψe'yi çözmemiz yeterlidir. Elektronun en düşük yörüngeseli (ingl. orbital) problemin simetrisinden dolayı bir elipsoyit (=seçeceğimiz koordinat sisteminde en rahat betimlenilen cisim) olmalı düşüncesiyle Kartezyen koordinat sisteminden eliptik koordinat sistemine* geçiyoruz, R:=|R1−R2|, r1:=|x1−R1|, r2:=|x1−R2| ile
μ(x1,R1,R2)=r1+r2R (=eliptik çizgiler, elipsin tanımı için bkz.)
ν(x1,R1,R2)=r1−r2R (=hiperbolik çizgiler, hiperbolün tanımı için bkz. )
ϕ(x1)=arctan(yx1xx1) (=azimut açısı, küresel koordinat sistemindekiyle aynı)
R1,R2 ile bağıntılarını yukardaki gibi olmasına rağmen Schrödinger denklemini çözebilmemiz için, Laplace işlemcisini eliptik koordinat sisteminde yazmamız gerekiyor ama onun sadece Kartezyen koordinat sistemindeki yazılışını biliyoruz (artık x1 damgasını yazmayacağım):
△=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2.
Yani ilk olarak R1,R2 ile x,y,z arasındaki ilişkiyi bulmamız lazım. Bu sebeple atom çekirdeklerimiz için örn. aşağıdaki Kartezyen koordinat sistemini seçelim.
O zaman
r1=√x2+y2+(z−R2)2
r2=√x2+y2+(z+R2)2'yi görebiliyoruz, ayrıca μ ve ν denklemlerini kullanarak
r1=R2(μ+ν)
r2=R2(μ−ν)
eşitliklerini de bulalım. Bu dört denklemle -toplama/çıkarma yaparak-
(x2+y2+z2)=(μ2+ν2)(R2)2−(R2)2
(x2+y2+z2)=(R2)2(μ2+ν2−1)
ve
z=−Rμν2(1)
ortaya çıkıyor.Bunları eğer ϕ=arctan(yx) üzerinde kullanırsak:
x=R2cosϕ√(μ2−1)(1−ν2)(2) ve
y=R2sinϕ√(μ2−1)(1−ν2)(3).
Not: *'ın gerçekten bir elipsoyit şeklinde olduğunu görebilmek için (1-3)'ü elipsoyit denklemiyle karşılaştırın: x2a2+y2b2+z2c2,a,b,c>0.
Şimdi Laplace işlemcisi zincir kuralına -∂∂x=(∂μ∂x)y,z(∂∂μ)ν,ϕ)+(∂ν∂x)y,z(∂∂ν)μ,ϕ)+(∂ϕ∂x)y,z(∂∂ϕ)ν,μ) vb.- göre (bayağı zaman alsa da) hesaplanabilir:
△=1(R2)2(μ2−ν2)(∂∂μ((μ2−1)∂∂μ)+∂∂ν((ν2−1)∂∂ν)+μ2−ν2(μ2−1)(1−ν2)∂2∂ϕ2)
Not: Eliptik koordinat sistemi Laplace işlemcisini ayırabileceğimiz 13 koordinat sisteminden biridir (2B'de kutupsal, 3B'de silindirik, küresel vs.).
Geriye ayrılabilir bir dalga fonksiyonu çözümünü ψ(μ,ν,ϕ)=M(μ)N(ν)P(ϕ) yeni Schrödinger denklemine koyup çözmek kalıyor...