$m,n$ dogal sayilari dort tamkarenin toplami ise $m\cdot n$ dogal sayisi da dort tamkarenin toplamidir.

Question

Gosteriniz: $m,n$ dogal sayilari dort tamkarenin toplami ise $m\cdot n$ dogal sayisi da dort tamkarenin toplamidir.

Comments

16 tamkarenin toplamını olduğu gösterebildim sadece :)

aslında m veya n'nin tamkare olduğunu gösterebilirsem çözmüş olurum, galiba. biraz körleme oldu

ama nasıl gösterilir bir fikrim yok

---

İpucu: kuaterniyonları (quaternions, Hamilton un sayıları)  düşünün.

Answer 1

$a,b,c,d,e,f,g,h\in \mathbb{N}$ olmak üzere $$m=a^2+b^2+c^2+d^2$$ ve $$n=e^2+f^2+g^2+h^2$$ olsun.

$$a,b,c,d,e,f,g,h\in \mathbb{N}$$

$$\Rightarrow$$

$$(-ae+bf+cg+dh)\in \mathbb{N}$$

$$(af+be+ch-dg)\in \mathbb{N}$$

$$(ag-bh+ce+df)\in \mathbb{N}$$

$$(ah+bg-cf+de)\in \mathbb{N}$$

ve

$$m\cdot n$$ $$=$$ $$(-ae+bf+cg+dh)^2+(af+be+ch-dg)^2+(ag-bh+ce+df)^2+(ah+bg-cf+de)^2$$

Comments

hocam m ile n yi carptıgımızda 16terımlı bir ifade oluyor o ifadeden en sondakı ıfadeyı bulurken bır sıstem varmı yoksa tecrubesel olarak tahmınmı edıyoruz

---

Yorumlarda Dogan hocanin ipucusu var. Ona bakabilirisin. link

---

teşekkür ederim sercan hocam anlamaya çalışıyorum :D

---

hocam bunu ilk kanıtlayan lagrange ve daha hamılton doğmadan kanıtını yapmış euler de ilk bu 4 tamkare açılımını bunlardan önce bulan adam peki euler bu eşitligi bularken daha doğmamış hamiltonun teorisini nasıl kullandı:) ben eulerin bu eşitligi nasıl buldugunu anlamak ıstıyorum yanı murad hocanın cevabındakı m.n= 4tane tam kare daha temel olarak nasıl yapıyoruz tek tek yazıp denıyerekmı?

---

neden hocam????