ABC üç basamaklı sayı A>B>C ise kaç farklı sayı yazılır?

Question

Üç basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan küçük, birler basamağındaki rakamdan ise büyüktür?

Not: Soruyu Tam sayılardan çözmeye çalışınca uzun sürüyor, zaten kombinasyon bölümü altında sorulmuş, mümkünse kombinasyonla çözmenizi rica edeceğim.

Answer 1

0, 1, 2, …, 9 rakamlarından herhangi 3 tanesini seçtiğimiz
zaman C < B < A olacak şekilde üç basamaklı ABC
sayısı oluşturabiliriz. Buna göre, C < B < A koşulunu sağlayan üç basamaklı ABC sayıları

$\binom{10}{3}$=120 olur.

Answer 2

1) Bu soru 2005 oss sorusu olmasi lazim. 
2) Bana gore en guzel cozumu kombinasyon ile olani. $C(10,3)$. Zaten bu cozum verilmis.
3) Soruda uzun denilen cozumu inceleyelim:

Aciklama: 
$A=n$ ise $B$ ve $C$ degerlerini bir $n\times n$ olarak kareye yazarsak. $B>C$ oldugundan. Bu toplam $\frac{n^2-n}2$ yapar.

$\frac12(\sum\limits_{n=2}^9n^2-\sum\limits_{n=2}^9n)=120$ yapar.

Bu da cok uzun bir yontem degil. Bazen en hos yontemleri bulamayiz fakat bir sekilde de isin icinden cikmak gerekir.

Hatta genel olarak $\frac12(\sum\limits_{n=2}^{m-1}n^2-\sum\limits_{n=2}^{m-1}n)=C(m,3)$ bu da guzel bir egzersiz olabilir.

Bu dogru olmali. Neden? Cunku iki tarafta bu sorunun $m$ tabanina gore (!) cevabini veriyor. Bu bir ispat. Uzun yoldan da ispatlanabilir.