Topolojik halka nedir? Örnek(ler) verebilir misiniz?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
113 kez görüntülendi


28, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Handan (1,516 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $(X,\clubsuit,\spadesuit)$ halka olmak üzere

$$(X,\tau,\clubsuit,\spadesuit) \text{ topolojik halka}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} \clubsuit : X\times X\rightarrow X \text{ sürekli} \\ \spadesuit : X\times X\rightarrow X \text{ sürekli} \end{array} \right.$$ 

28, Ağustos, 2015 murad.ozkoc (9,026 puan) tarafından  cevaplandı

Buna sineğe (eğer sineğe göre grup yapısı varsa tabi) göre ters alma işleminin de sürekli olduğunu eklemek gerek.

$\Bbb{Z}_{(p)}=\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\Bbb{Z},(b,p)=1\}$ bu halka topolojik bir halkaymış. Tanımı buna nasıl uygulayabilirim?

Bu halka rasyonel sayıların içinde. Doğal olarak üzerinde bildiğimiz metrikten gelen bir topoloji var. Rasyonel sayılarda toplama ve çarpma vesaire sürekli olduğu için altuzaylarında da sürekli olacaktır. Yani burada da öyle olacaktır. Ama rasyonel sayılar üzerinde başka metrik topolojiler de var. Mesela $p$-sel değerlendirmelerin tarif ettiği topolojiler. Aynı nedenle, bu halka o topolojilere göre de topolojik halka olacaktır. Bu nedenle, bir halkanın topolojik halka olup olmadığının tartışması yapılırken hangi topolojiye göre konuşulduğu da belirtilmeli. Yukarıda verilmiş örneğin akla getirdiği bir tane doğal aday da var öte yandan:


Yukarıdaki kümenin başka bir dile getirilişi de şu:$$\mathbb{Z}_{(p)}=\mathbb{Q}\cap\mathbb{Z}_p$$Bu eşitlikteki $\mathbb{Z}_p$, $p$-sel sayıları anlatmakta. O yüzden bu kümeyi görünce insanın aklına ister istemez $p$-sel metriğin tanımladığı topoloji de geliyor.


Son olarak, tanımı buraya uygulamakla ne demek istediğini anlayamadım.

...