W. Heisenberg 1928 yılında 'Feromıknatıslık kuramı hakkında' Zeitschrift für Physik. 49, Nr. 9, 1928, S. 619–636, doi:10.1007/BF01328601 adlı makalesinde ilk kez katıların feromıktanıslığını en basit şekilde betimleyen kuantum mekaniksel -sonrasında kendisine atfedilen- modeli bulmuştur. Katı maddelerin atomlarının hareketsiz bir şekilde bir örgünün (ingl. lattice) köşenoktalarında konumlandırılmış olduğu söylenebilir (az kusurlu kristaller için neredeyse gerçeği yansıtıyor). Yaklaşık olarak madde içinde oluşan manyetik alanın sadece komşu atomların en dış elektronlarının spin etkileşiminden (şiddeti $J$) kaynaklandığını düşünürsek, sadece dış elektronların spinlerini incelememiz yeterli olacağından bunların da atomlarla aynı tipteki bir örgüye yerleştirildiğini (köşenoktalarının yerleşkeleri $i$ ile gösterilsin) varsayabiliriz. Modeli yazabilmemiz için son gereken bilgi, sistem tarafından aynı yöndeki komşu spinlerin tercih edilmesi, yani bunların enerjiyi azaltması (zaten feromıknatısı tanımlayan özellik bu, zıt yöndekiler için enerji azalsaydı tersferomıknatıs olurdu). O zaman ($J$ $x,y,z$ için de aynı olduğu için) izotropik ek alansız Heisenberg modeli Hamiltonyeni
$H_{Heisenberg,0}:=-J\displaystyle\sum_{\langle i,j\rangle} \vec{S}_i\cdot \vec{S}_j$'dir.
burada $<i,j>$, $i,j$'nin sadece komşu yerleşkelerin damgaları anlamına geliyor,$\vec{S}_i:=(S^{x}_i,S^{y}_i,S^{z}_i)^{T}$ ise kuantum mekaniksel spin(-1/2) vektör işlemcisi ($S^a_i$ i yerleşkesindeki elektronun $a$ yönündeki spinini($\pm\frac{1}{2}$) ölçüyor, $S^a:=\frac{\hbar}{2}\sigma_a$, Pauli matrisleri $\sigma_a$ için bkz.). Daha çok, sabit $z$ yönünde alçak şiddetteki bir manyetik alan $B_0$ ile birlikte incelenir. Elektronların spininin $z$ yönüne izdüşümü alanla aynı yöndeyse sistemin enerjisi etkileşim katsayısı $h$ miktarında azalır. O zaman izotropik Heisenberg modeli Hamiltonyeni
$H_{Heisenberg}:=-J\displaystyle\sum_{\langle i,j\rangle} \vec{S}_i\cdot \vec{S}_j-h\displaystyle_i S_i^{z}$'dir.
($h:=\mu_B g_J B_0$, $\mu_B$ Bohr manyetonu, $g_J$ elektronun Landé katsayısı)
Soru 1: Bu modelin simetrileri hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Alıştırma: Spin merdiven işlemcileri $S^{\pm}_j:=S^{x}_j\pm iS^{y}_j$'nın değişme bağıntılarını bulun ve $H_{Heisenberg}$'i onlar yardımıyla yeniden yazın.
Soru 2: Heisenberg modelini çözebilirmisiniz (bu sadece enerji $E:=\langle H\rangle$ ve mıknatıslanmayı $\vec{M}:=\langle \displaystyle\sum_i \vec{S}_i \rangle$ bulmak mı demek)?
$J^{z}\rightarrow 0$ sınırından çıkan Hamiltonyenle betimlenen sisteme İsing modeli, $J\rightarrow 0$ sınırdankine ise XY modeli denir.
Soru 3: Bu modellerin simetrilerini sayabilirmisiniz?
Soru 4: Bu modelleri çözebilirmisiniz? (Daha alt((/üst)) boyutlarda da soru geçerli)
Soru 5: Bütün bu modellerin başka kullanım alanları var mıdır?
Not: Soruları cevaplayabilmeniz için bir örgü tipi seçmeniz gerekmekte.