$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi

$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ (dogru ya da yanlis) oldugunu gosteriniz. ($i^2=-1$)

24, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu

ben de diyorum neden takıldım. $i^2=-1$'i görünce bir anda kolaylaştı her şey :)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Genel olarak su dogru:

$A$ ve $B$ birer $S$ cebri iseler ve $I\subseteq B$ bir ideal, $I^ e$ de $I$ idealinin $A\otimes_S B$ icindeki goruntusunun urettigi ideal ise $$A\otimes_S B/I\simeq (A\otimes_S B)/I^e.$$ O halde $S=\mathbb{Q}$ ve $A=\mathbb{C}$, $B=\mathbb{Q}[X]$ ve son olarak $I=X^2+1$ alirsak sunu elde ederiz: $$\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[X]/I=(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[X])/I^e\\ =\mathbb{C}[X]/(X^2+1)$$ Sorudaki esitlik, bu esitlige cinli kalan teoremi uygulanarak elde edilir.

24, Şubat, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
24, Şubat, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Tesekkur ederim. Biz de arkadasla bunun ozel halini uygulamistik. Son kisim icin 1 ve x baz elemani da diyebiliriz. Ilk gordugumde garip geldi gozume. 

Rica ederim, ben de seni benzer bir soru olan ayrilabilir genislemlerin tensor carpim altindan sifir guclu olmayan halkalar urettigi savinin ispatina davet ediyorum.

http://matkafasi.com/1330/ayrilabilir-separable-genislemeler

Bu soru favorilerim arasinda (neredeyse tum sorularin hatta) :) ama bilgi dagarcigim icinde degil ne yazik ki. Gencligimi hor kullandim :/ Su an S_n sorusunu okuyorum hatta. Sayende matematik ogreniyorum.

Verebilecegim tek yanit: Estagfurullah, fazla abarttin.

Merak etme hepsini ogrenmiyorum :) cidden bu sene basladim adam gibi calismaya.. iyi oluyor bu sorulari gormek.. hem arastirma hem calisma da zormus.. ama zararin neresinden donersen kar..

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu sonuç, $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)$ yapısını vektör uzayı olarak görürsek de, bir cebir olarak görürsek de doğru. (Bilgi Notu: $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)$ üzerine çarpma, $(a\otimes b)(a' \otimes b') = aa' \otimes bb'$ kısmi çarpımı dağılma özelliği kullanarak genişletilen işlemdir.)

Önce vektör uzayı olarak görelim:

$$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) = \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}i) \simeq (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}) \oplus (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}i) \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}i \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}.$$

Şimdi de cebir olarak görelim. O zaman

$$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) = \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}i) \simeq (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}) \oplus (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}i) \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}i \simeq \mathbb{C}[X]/\langle X^2+1\rangle$$

olur. En sondaki cebir de $\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$ cebirine (cebirlerin kartezyen çarpımı) şu nedenle izomorftur:

$$\mathbb{C}[X]/\langle X^2+1\rangle \simeq \mathbb{C}[X]/\langle (X-i)(X+i)\rangle \simeq \mathbb{C}[X]/\langle X+i\rangle \oplus \mathbb{C}[X]/\langle X-i\rangle \simeq \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}.$$

Birinci izomorfizmayla ikinci izomorfizmanın aynı olmadığını dikkatinize sunarım.

Tansör çarpımı için https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/300_tensor.pdf adresindeki (tam bitmemiş) Türkçe makaleden yararlanabilirsiniz.

25, Şubat, 2015 anesin (710 puan) tarafından  cevaplandı
26, Şubat, 2015 anesin tarafından düzenlendi

Arada fark göremedim ama?

$\mathbb{C}[X]$ halkasına Çinli kalan teoremini uygulayabiliriz. $(X^2+1)$ ideali $(X-i)(X+i)$ idealine eşit ve bu idealler $\mathbb{C}[X]$ içinde farklı asallar. Bu yüzden $$\mathbb{C}[X]/{(X^2+1)}\simeq \mathbb{C}[X]/(X-i)\times \mathbb{C}[X]/(X+i)\simeq \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$ değil mi?

Haklısın, düzeltiyorum.

...