$m\leq n-2$ için, $H_n-H_m\notin \mathbb{Z}_2$

Question

$H_n=1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}$ ile $n$-inci harmonik sayıyı gösterelim.

---

Kürschák tarafından 1918'de ispatlanan bir sav.

---

Bu sonuca göre, $m\leq n-2$ için, $H_n-H_m\notin \mathbb{Z}$ olduğunu söyleyebiliyoruz.

---

Eğer $m=n-1$ ve $n$'yi tek alırsak ifade doğru olmuyor: $H_n-H_m=\frac{1}{n}\in \mathbb{Z}_2$.

Comments

Lisans kategorisinde oldugu icin su bilgiyi de verelim de kimse korkmasin.

Bir rasyonel $\frac{a}{b}=q$ sayisinin $\mathbb{Z}_2$ olmasi demek $a$'yi bolen iki sayisinin $b$'yi bolen iki sayisindan az degil demek. Yani eger $a,b$'yi aralarinda asal alisak soru su hale geliyor:

$H_n-H_m=\frac{a}{b}$ olsun, ve $(a,b)=1$. Bu durumda $b$ cift olur.

Boyle diyince orta okul ogrencileri de uzerinde dusunebilir hem.