"İkisinden de birer nokta çıkar, biri bağlantılı diğeri değil" türü bir soru

Question

matkafası'nda şu tür çözümleri sıkça görüyorum: $\mathbb{R}$'nin $\mathbb{R}^2$'ye homeomorf olmadığını kanıtlamak için ikisinden de birer nokta çıkarıyoruz. Biri bağlantılı diğeri değil vs vs. Bunu biraz deşecek birkaç soru sormak istiyorum:

(1) Bu ispat fikrini her zaman kullanabilir miyim? Yani, "biri şöyle diğeri değil" cümlesine (bu cümleye P diyeyim) beni ulaştıracak şekilde birer nokta çıkarabildiğim her an, "demek ki verilen uzaylar da homeomorf değilmiş" diyebilir miyim?
(2) Verilen iki uzaydan birer açık aralık çıkardığımda P cümlesini kurabiliyorsam, uzaylar homeomorf değildir diyebilir miyim? Birer kapalı aralık? Birer çember?
(3a) Bağlantılı $X$ uzayı verilmiş. Buna bir adet nokta ekleyerek yine bağlantılı bir $X_1$ inşa ediyorum. Noktayı $X$'e başka türlü ekleyerek $X_2$ elde ediyorum. $X_1$ ve $X_2$ homeomorf olmak zorunda mıdır? Nokta yerine kapalı aralık? Çember?
(3b) Yukardaki $X$ bir manifold olsun ama tıkız olmasın. Tıkız bir $A$ manifoldu ekleyerek tıkız bir $X_1$ manifoldu yapıyorum. Başka türlü ekleyip $X_2$ yapıyorum. $X_1$ ve $X_2$ homeomorf mudur?