Processing math: 89%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
829 kez görüntülendi

Z[Sn], Z üzerine Sn elemanlarıyla serbest biçimle üretilen Z modülünün üzerine gruptan gelen çarpmanın konulmasıyla elde edilen halka. Yani, baz elemanlarının çarpımı grubun çarpımı, genel iki elemanı çarpmak için de bu çarpmayı lineer olarak genişletiyoruz.

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 829 kez görüntülendi
Halkanin merkezinin ne oldugunu bilmiyorum ama bu halka icin sanki tanimi grubunkine benzer gibi geldi.

Simdi Sn'in merkezi n=2 haric birim eleman oldugundan ve a1g1a2g2=a1a2g1g2 oldugundan (a1,a2Z ve g1,g2Sn), merkez tamamen Sn'e bagli. O zaman soyle diyebilirim kafamdaki tanima gore:

n2 ise Z[e] ve n=2 ise Z[S2].

Bu yanıt yanlış.

yani n=2 için doğru da, n>2 için yanlış.

hepsi icin mi :)

Halkanin merkezi ne oluyor?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Ne olması gerektiğine dair iddiayı bulmak için bir iki şey yazayım. İddianın ispatını yapmayacağım, çok kolay zira. n>2

İlk gözlem: Bir x=σSnnσσ elemanın merkezde olması için baz elemanlarıyla değişme özelliğine sahip olması yeterli.

İkinci gözlem: Sn merkezsiz bir grup olduğu için Z[Sn]'in doğal bazındaki elemanlardan hiçbirisi merkesin bir parçası olamaz, 1'e eşit değilse tabi.

O halde bazın iki elemanını alıp toplayalım: σ,τSn için σ+τZ[Sn] elemanının merkezde olabilmesi için gereken şartı inceleyelim. Her βSn için ilk gözlem gereği β(α+τ)β1)=βαβ1+βτβ1=α+τ olmalı. Sn'in merkezi olmadığı için en azından bir βSn için βαβ1α doğru. Bir öndeki eşitlik gereği (ve tabii ki baz olmakla ilgili benim açıklamayı gençlere bıraktığım minicik bir açıklama nedeniyle) bu β βαβ1=τ eşitliğini sağlar.

Üçüncü gözlem: α+τ merkezdeyse α ile τ birbirine eşlenik olmalı.

Son gözlemi yaparken yaptığımız çalışma aslında bize şunu da söylüyor. Ya α'nın τ'dan başka bir eşleniği varsa, o zaman ne olur? Diyelim ki ηαη1τ olsun (tabii ki α da olsun, yani ηid). Bu durumda yukarıdaki gözlem gereği α+τ merkezde olamaz çünkü bu elemanın η ile eşliği y=η(α+τ)η1 elemanının baz açılımında α ve τ'dan başka bir eleman (ηαη1) var, yani yα+β.

Bu demek oluyor ki, x merkezin bir elemanıysa x'in baza göre açılımında gözüken bir baz elemaninin butun eşlenikleri de x'in baz açılımında gözükmeli. Artık neyi iddia edebileceğimiz açık:

İddia: E1,,EkSn farklı eşlenik sınıfları olsun. Her i=1,2,,k için θi:=σEiσ merkezin bir elemanıdır ve {θ1,,θk} merkezin bir bazıdır.

(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,809 kullanıcı