Ne olması gerektiğine dair iddiayı bulmak için bir iki şey yazayım. İddianın ispatını yapmayacağım, çok kolay zira. n>2
İlk gözlem: Bir x=∑σ∈Snnσ⋅σ elemanın merkezde olması için baz elemanlarıyla değişme özelliğine sahip olması yeterli.
İkinci gözlem: Sn merkezsiz bir grup olduğu için Z[Sn]'in doğal bazındaki elemanlardan hiçbirisi merkesin bir parçası olamaz, 1'e eşit değilse tabi.
O halde bazın iki elemanını alıp toplayalım: σ,τ∈Sn için σ+τ∈Z[Sn] elemanının merkezde olabilmesi için gereken şartı inceleyelim. Her β∈Sn için ilk gözlem gereği β(α+τ)β−1)=βαβ−1+βτβ−1=α+τ olmalı. Sn'in merkezi olmadığı için en azından bir β∈Sn için βαβ−1≠α doğru. Bir öndeki eşitlik gereği (ve tabii ki baz olmakla ilgili benim açıklamayı gençlere bıraktığım minicik bir açıklama nedeniyle) bu β βαβ−1=τ eşitliğini sağlar.
Üçüncü gözlem: α+τ merkezdeyse α ile τ birbirine eşlenik olmalı.
Son gözlemi yaparken yaptığımız çalışma aslında bize şunu da söylüyor. Ya α'nın τ'dan başka bir eşleniği varsa, o zaman ne olur? Diyelim ki ηαη−1≠τ olsun (tabii ki ≠α da olsun, yani η≠id). Bu durumda yukarıdaki gözlem gereği α+τ merkezde olamaz çünkü bu elemanın η ile eşliği y=η(α+τ)η−1 elemanının baz açılımında α ve τ'dan başka bir eleman (ηαη−1) var, yani y≠α+β.
Bu demek oluyor ki, x merkezin bir elemanıysa x'in baza göre açılımında gözüken bir baz elemaninin butun eşlenikleri de x'in baz açılımında gözükmeli. Artık neyi iddia edebileceğimiz açık:
İddia: E1,⋯,Ek⊆Sn farklı eşlenik sınıfları olsun. Her i=1,2,⋯,k için θi:=∑σ∈Eiσ merkezin bir elemanıdır ve {θ1,⋯,θk} merkezin bir bazıdır.