Question

$$\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\Xi(n,1)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x}\:dx$$ Buradaki eşitlikte $m$ yerine $1$ verelim.Eşitlik :

$$\Xi(n,m)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^m}\:dx=\frac{(-1)^n}{m^{n+1}}\Gamma(n+1)\Phi\Big(-1,n+1,\frac{1}{m}\Big)$$

$$\Xi(n,1)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x}\:dx=(-1)^n\:\Gamma(n+1)\Phi\Big(-1,n+1,1\Big)$$

Lerch zeta fonksiyonunu bu özel hali için dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\Xi(n,1)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x}\:dx=(-1)^n\:\Gamma(n+1)\eta(n+1)$$

Dirichlet eta fonksiyonunu zeta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\Xi(n,1)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x}\:dx=(-1)^n\:(1-2^{-n})\:\Gamma(n+1)\zeta(n+1)}}$$