Question

$$\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$

İntegrali digama fonksiyonunun kısmi türevi ile yazabiliriz.Digama fonksiyonunun tanımı :

$$\psi(s+1)=-\gamma+\int_0^1\:\frac{1-x^s}{1-x}\:dx$$

$$\frac{\partial}{\partial{s}}\:\psi(1-s)-\psi(s)=\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$

Digama fonksiyonunu , Euler'in yansıma formülünün bir benzeri formül ile yazılabilir.Euler'in yansıma formülünün ispatı için buraya bakılabilir.

$$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi{x})$$

$$\frac{\partial}{\partial{s}}\:\pi\cot(\pi{s})=\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$

Türevi alırsak integralide çözmüş oluruz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx=-\pi^2\csc^2(\pi{s})}}$$