Beta fonksiyonunu, Gama fonksiyonu cinsinden ifade etmek

1 beğenilme 0 beğenilmeme
670 kez görüntülendi

$x$ ve $y$ gerçel kısımları pozitif olan karmaşık sayılar olmak üzere, Beta fonksiyonu, $$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$ Gama fonksiyonu, $$\Gamma(x,y)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$$ olarak tanımlanır. Gösteriniz ki, bu iki ilginç fonksiyon arasında $$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$ şeklinde bir ilişki vardır.

9, Ağustos, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,069 puan) tarafından  soruldu
9, Ağustos, 2015 Enis tarafından düzenlendi

aynısını sormayı düşünüyodum 

Önce davranmışım :) Birazdan sizin sorduğunuz bir soruda bunu kullanacağım.

Buradaki çözüm işinize yarayacaktır.

Orada bu eşitlik kullanılıyor, ispatlanmıyor sanırım.

Linkteki en son integrale bir iki değişken değiştirmeyle aşağıdaki integralin bulunabilmesi lazım.(?)

$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$

Ben bunu tanım olarak verdim zaten. Sorduğum şey, yukarıdaki şekilde tanımlanan iki integral değeri arasındaki bir ilişki.

aslında, bertanin sorunda var ama gerek yok onu çözmek için. ben tersten yürüdüm değişiklik olsun diye aynı işlemlerle. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

gamma fonksiyonununda, $t=r^2$ dönüşümü yaparak

$\Gamma \left( n\right) =2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r^{2n-1}dr$

ve beta fonksiyonunda, $t=sin^2\theta$ dönüşümü yaparak

$B\left( p,q\right) =2\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\sin ^{2p-1}\theta \cos ^{2q-1}\theta d\theta $,  ($p,q<0$)

gamma fonksiyonunda, $n=q+p$ yazıp, elde edilenleri çarparsak, 

$B\left( p,q\right) \Gamma \left( q+p\right)=4\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r^{2p+2q -1}dr\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\sin ^{2p-1}\theta \cos ^{2q-1}\theta d\theta $

ve bu aşamada, $x=rsin\theta$ ve $y=rcos\theta$ dönüşümleri yaparsak, sağdaki integralin sınır değerleri, $x/y=tan\theta$ dan, dolayı $0$ dan, $\infty $ a olduğu görülür. ayrıca, $dxdy=rdrd\theta$.

$4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left( x^{2}+y^{2}\right) }y^{2p-1}x^{2q-1}dxdy=\Gamma \left( q\right) \Gamma\left( p\right) $  olduğu görülür, ilk eşitliği kullanarak.


9, Ağustos, 2015 emilezola69 (618 puan) tarafından  cevaplandı

ayrıca, beta fonksiyonu, tanımın ve sorulan eşitlikte simetrik,

...