Ayrilabilir metrik uzaylari ikinci sayilabilendir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
202 kez görüntülendi

Gosteriniz: Ayrilabilir (seperable) metrik uzaylari ikinci sayilabilendir. (second countable.)

3, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$(X,d)$ metrik uzayı ayrılabilen olsun. Bu durumda sayılabilir ve yoğun bir $A$ alt cümlesi vardır. Buradan 

                           $B=\{D(a,r):a\in A,r \in \mathbb{Q^+}\}$ 

sınıfı sayılabilirdir.

 Şimdi $B$ sınıfının bir baz olduğunu gösterelim. $(X,d)$ metrik uzayında açık olan bir $G$ cümlesi ile $x\in G$ elemanı verilsin. Metrik uzayında açık disklerin sınıfı bir baz olduğundan $D(x,\epsilon)\subseteq G$ olacak şekilde bir $\epsilon >0$ sayısı vardır. Buradan $A$ alt cümlesi $X$ de yoğun olup $D(x,\frac{\epsilon}{3})\cap A \neq \emptyset$ olacağından $d(a_0,x)<\frac{\epsilon}{3}$ olacak şekilde bir $a_0 \in A$ vardır. Şimdi $\frac{1}{3}\epsilon <r_0<\frac{2}{3}\epsilon$ olacak şekilde bir $r_0\in \mathbb{Q}$ seçelim. Buradan

                            $D(a_0,r_0)\subseteq D(x,\epsilon)$

dir. Çünkü bir $y\in D(a_0,r_0) $ için $d(a_0,y)<r_0$ ve de

                  $d(y,x) \leq d(y,a_0)+d(a_0,x)<r_0+\frac{1}{3}\epsilon< \frac{2}{3}\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon=\epsilon$

dir. O halde $x\in D(a_0,r_0)\subseteq G$ dır. Bundan dolayı $B$ sınıfı bir bazdır. Yani $(X,d)$ metrik uzayı ikinci sayılabilir uzaydır.

Bazı tanımlar:

Metrik uzay: $X$ boştan farklı bir cümle olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan reel değerli bir

         $d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$

fonksiyonuna bir metrik, $(X,d)$ ikilisine de bir metrik uzay denir.

 $i$. $d(x,y)=0 \iff  x=y$

 $ii$. $\forall x,y \in X$ için $d(x,y)=d(y,x)$ dir.

 $iii$. $\forall x,y,z \in X$ için $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ dir.

Ayrılabilen uzay: $(X, \tau)$ bir topolojik uzay olsun. Eğer  $\bar{A}=X$ olacak şekilde sayılabilir bir $A\subseteq X$ alt cümlesi varsa bu uzaya ayrılabilir bir uzay denir.

İkinci sayılabilir uzay: $(X,\tau)$ bir topolojik uzay olsun. Eğer bu uzayın sayılabilir bir bazı varsa bu uzaya ikinci sayılabilir bir uzay denir.

5, Ağustos, 2015 merve kaya (985 puan) tarafından  cevaplandı
21, Aralık, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
Cümle=küme mi?
evet hocam..bir kısım kaynak cümle bir kısımsa küme yi kullanıyor..farkı yok diye biliyorum.. 

Vay. Ilk defa duyuyorum Merve hocam. Eyvallah.

hocam çok sık karşılaşılan bişey olmayabilir lakin türkçe kaynaklarda özellikle topoloji ve soyut matematik üzerine kaynaklarda görüyorum ben..zamanında soyut matematik alırken azeri bir hocam bu konuda sıkıntı çıkardığını hatırlarım :D derste cümle yi kullanmıştı bir yerde, bir arkadaş da "hocam karıştırdınız galiba küme diyecektiniz" dedi. hoca da "küme demek isteseydim öyle söylerdim, cümle dediysem cümledir" diye paylamıştı..:)

...