Eğri uzunluğu

Question

$\alpha:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda $\alpha$'nın görüntüsü olan eğrinin uzunluğu diye verilen bir tanım var. Bu tanım nedir? Ve bununla beraber tanım neden vöyle verilmiş? Sezgisel olarak bir tanım vermeye çalışsak neden bu tanıma ulaşırız (ya da bu tanıma mı ulaşırız)? 

Comments

vö ile mi? vö nedir?

---

vö nikaragua'daki sandinist gerillaların amerika destekli darbeden önce kullandıkları bir çeşit düğüm.

---

Bu bilgi ile soru cok rahat cozulebilir artik.

---

tam sorucaktım bu soruyu ki sitede mevcutmuş:)

Answer 1

Hatırladığım kadarıyla şöyle bi mantıktan geliyordu..
$\alpha: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olsun. ($y=\alpha (x)$)    
$\alpha$ fonksiyonunun bu $[a,b]$ aralığındaki görüntüsü olan eğri parçasının uzunluğunu bulmak istiyoruz.
Tanım kümesindeki aralığın içinden iki nokta seçelim. Bunlar $x_1$ ve $x_2$ olsun. $\alpha (x_1)=y_1$ , $\alpha (x_2)=y_2$
$|x_1-x_2|=\Delta x$ , $|y_1-y_2|=\Delta y$ diyelim. Seçtiğimiz noktalar arasında kalan eğri parçasının yaklaşık uzunluğu kabaca şudur (en kabası hem de!):
$\Delta l\cong \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ , işlemler yapıp düzenleyelim..
$\Delta l\cong \left(\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}\right)\Delta x$ , her tarafı $\Delta x$ e bölüp $\Delta x \rightarrow0$ için limit alırsak
$\lim\limits_{\Delta x\to\ 0}\frac{\Delta l}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to \ 0} \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}$     $\Rightarrow$   $l'=\sqrt{1+(y')^2}$   , her iki tarafı $x$ e göre integre edersek;
$l=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^2}dx$   olur.