Hatırladığım kadarıyla şöyle bi mantıktan geliyordu..
α:[a,b]→R sürekli bir fonksiyon olsun. (y=α(x))
α fonksiyonunun bu [a,b] aralığındaki görüntüsü olan eğri parçasının uzunluğunu bulmak istiyoruz.
Tanım kümesindeki aralığın içinden iki nokta seçelim. Bunlar x1 ve x2 olsun. α(x1)=y1 , α(x2)=y2
|x1−x2|=Δx , |y1−y2|=Δy diyelim. Seçtiğimiz noktalar arasında kalan eğri parçasının yaklaşık uzunluğu kabaca şudur (en kabası hem de!):
Δl≅√(Δx)2+(Δy)2 , işlemler yapıp düzenleyelim..
Δl≅(√1+(ΔyΔx)2)Δx , her tarafı Δx e bölüp Δx→0 için limit alırsak
limΔx→ 0ΔlΔx=limΔx→ 0√1+(ΔyΔx)2 ⇒ l′=√1+(y′)2 , her iki tarafı x e göre integre edersek;
l=b∫a√1+(y′)2dx olur.