${1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}}$ eşitliğini zeta fonksiyonu ile gösterin

0 beğenilme 0 beğenilmeme
177 kez görüntülendi

Zeta fonksiyonu ile :

$${\large1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}}$$

Eşitliğini gösterin.

27, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde bertan88 (1,119 puan) tarafından  soruldu
28, Temmuz, 2015 bertan88 tarafından düzenlendi

Pozitif terimlerin toplamı ne zamandan beri negatif oluyor?

neden olmasin?

Buradaki video izlenebilir.

https://youtu.be/YuIIjLr6vUA 

Buradaki videoda, diğer sitedeki yapılan hata gösterilmiş. Ramanujan'ın Hardy'ye gönderdiği yöntem, yakınsak-convergent-  dizilerde olabiliyormuş, oysa ilgili seri ıraksak-divergent-..  Yani, kullandığı yöntem yanlış. 

Üstteki video, biraz uzun, ama; ikna edici...

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bu seri ${\zeta(-1)}$' e eşittir.

${\zeta(-n)}$ için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.Bu eşitliğin ispatı için buraya bakılabilir.

$${\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}}$$

Burada ${B_n}$ , ${n.}$ bernoulli sayısı.

${n}$ yerine ${1}$ koyalım.

$${\zeta(-1)=-\frac{B_2}{2}}$$

${B_2=\frac{1}{6}}$ dır.

$$\large\color{red}{{\boxed{\zeta(-1)=-\frac{1}{12}}}}$$


27, Temmuz, 2015 bertan88 (1,119 puan) tarafından  cevaplandı

Bu sorudan vardı daha önceden. Asıl sorum şu: bunun doğruluğuna inanıyor musun? Eğer doğru ise neden doğru?

http://matkafasi.com/16854/%24-zeta-n-frac-b_-n-1-n-1-%24-esitligini-ispatlayin linkinde bulunan ispatta toplam sembolü ile türev operatörünün yer değiştirebilmesi için söz konusu serinin DÜZGÜN YAKINSAK olması gerekiyor.

@Sercan Hocam cevabın doğruluğu ile ilgili bir şey söyleyemiyorum.O yüzden bu sefer başlıkta "ispatlayın" yerine "gösterin" yazdım.

@murad.ozkoc Hocam oradaki seri düzgün yakınsak değil mi ?

Gösteriniz dendiğinde yanlış olabilir yani?

Evet olabilir , hatta "ispatlayın" desem bile yanlış olabilir.

Gösterin derken başlıkta "gösterin" yazıyor ama soruda "zeta fonksiyonu ile gösterin" yazıyor.Gösterin derken kastım bu.

...