Gerçel sayıların bir boyaması

Question

$[\mathbb{R}]^2$ gerçel sayıların iki elemanlı alt kümelerini belirtsin ve $2=\{0,1\}$ olmak üzere her $\chi: [\mathbb{R}]^2 \rightarrow 2$ fonksiyonuna $[\mathbb{R}]^2$'nin bir $2$-boyaması diyelim.

Eğer bir $\chi$ boyaması $A \subseteq \mathbb{R}$ kümesi üzerinde sabitse, yani $A$'nın iki elemanlı alt kümeleri kümesi $[A]^2 \subseteq [\mathbb{R}]^2$ üzerinde sabit değer alıyorsa $A$'ya $\chi$-homojen diyelim.

$[\mathbb{R}]^2$'nin öyle bir $2$-boyaması $\chi$ bulunuz ki $\mathbb{R}$'nin sayılamaz bir $\chi$-homojen alt kümesi olmasın. (Sierpinski'ye ait bir gözlem bu.)

İpucu: Şu soru.