Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 1 beğenilmeme
876 kez görüntülendi
Hangi n doğal sayıları için, x2+x+1|x2n+xn+1 şartı sağlanır?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (19 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 876 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Soruda gecen polinomlari f(x)=x2+x+1 ve fn(x)=xn+nx2+1 biciminde adlandiralim ve su gozlemi yapalim: Eger f(x)|fn(x) sarti saglaniyorsa fn(x)=f(x)gn(x) esitligini saglayan bir polinom var demektir ki, bu da f(x) polinomunu sifirlayan her karmasik sayinin fn(x) polinomunu da sifirlamasi demektir. Bu gozlemi ve ucgen esitsizligini kullanarak bu bolmenin yalnizca n=1 icin mumkun oldugunu ispatlayacagiz.

Ikinci dereceden polinomlarin koklerini nasil bulacagimizi biliyoruz: f(x) polinomunun kokleri sunlardir: x1=1+32 ve x2=132. Dikkat edilirse bu iki karmasik kokun de uzunluklari 1. Diyelim ki fn(x)=f(x)gn(x) esitiligini saglayan bir g polinomu var olsun. Yukaridaki ilk gozlemimiz geregi fn(x1)=xn1+nx1+1=0 esitligi saglanmali. Kokumuz x1'in uzunlugu 1 oldugu icin xn1 karmasik sayisinin uzunlugu da 1 olmak zorundadir, ayni nedenle nx21 karmasik sayisinin uzunlugu da n olmak zorundadir. fn(x1)=0 olmasi demek, xn1, nx21 ve 1 karmasik vektorleri bir ucgen olusturuyor demektir. O halde ucgen esitsizligi sayesinde su sonuca variriz:

0n2. Bu demektir ki olasi n yalnizca 0,1 ya da 2'dir. f0 ve f2 polinomlarinin kokleri bulunarak (ya da daha kolay yontemlerle) bu iki polinomun f tarafindan bolunmedigi rahatlikla gosterilebilir.
(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
bir sekilde yazinin bir kisminda yazilar bitisik cikiyor. bir taraf duzeliyor diger taraf yapisiyor. icinden cikamadim

ucgen.. hos olmus..

teşekkür ederim :)
0 beğenilme 0 beğenilmeme

n=3k seklinde ise kalan n(x1)+1+1 olur ve n=0 olabilir ama olamaz.
n=3k+1 seklinde ise kalan n(x1)+x+1 olur ve sadece n=1 olabilir.
n=3k+2 seklinde ise kalan n(x1)+(x1)+1 olur ve uygun n bulunamaz.

(25.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Sercan hocam,

n=3k+1 durumunun incelendiği ikinci maddede 'n=1 olabilir ama olamaz' yerine 'n=1 olabilir ama bundan daha büyük değerler olamaz' anlamına gelen bir cümle yazılacaktı sanırım. (Bariz olarak n=1 olabilmekte.) 

Teşekkür ederim. Düzenledim. Eski halinde ± yazmışım. Orda bir olaylar olmuş ama. Net çıkaramadım. 

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,817 kullanıcı