$\sum\limits_{x\in[0,2\pi)}\sin x$ toplami nedir?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
106 kez görüntülendi

$\sum\limits_{x\in[0,2\pi)}\sin x$ toplami nedir? Boyle bir toplam anlamli mi? $0$ gibi duruyor ama gibi duruyor demekle $0$ olmuyor..

23, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,506 puan) tarafından  soruldu

eğrinin yay uzunluğu mu sorulmuş?

Hayır, sorulan o değil.

ben şöyle düşündüm, grafikte $0$ ile $\pi/2$ arasına kadarla, $\pi/2$ ile $ \pi$ arasına kadarı topladığımda, $0$ ile $\pi/2$ nin uzunluğunu vermez mi? zaten aynısı $\pi/2$ ile $ \pi$ arasını ters çevirip yapıştırsak çok güzel oturuyolar

ben çok yanlış gelmişim pardon

Onun yerine $1/n$'lerdeki değerlerini topla. Sonsuz buldun. Sonra teker teker sonlu sayıları çıkart. Sonsuz kalacak elinde.

Aslinda sunu demek istedin galiba: bu toplam aslinda $\int\limits_0^{2\pi}\sin x dx$ mi?

ark uzunluğunu kast etmiştim, ama o mantıkla sonsuz tane $1$ toplamış oluyoruz. 

edit: sonra fikir değiştim, $y$ değerlerini toplayalım dedim yukarı doğru artışı ile aşağı doğru azalış aynı, bir olacak en büyükle en küçüğü topladığımızda, gibi

Doğru yere gelmişssin işte. Böyle böyle kafa karışacak ki, çözülsün.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sayılabilir çoklukta eleman toplanırken tanım, sonlu toplamların limiti olarak verilir. Burada da önce bu toplamın tanımını yapman gerek. Bir kere hangi sırayla toplayacağın önemli. Zaten mutlak yakınsak olmayan serilerde toplanan elemanların sırasını değiştiremezsin. Yani sonsuz toplamda toplama sırası önemlidir. 

Toplama işlemi sayılabilir çokluk için tanımlı. Çünkü esasen $+$ işlemi iki eleman için tanımlıdır. Tümevarımla sonlu sayıda eleman için de tanımlanır. Sonsuz toplam ise, sonlu toplamların limiti olarak tanımlanır. Yani bu yukarıda yazılan sembolün bir anlamı yok. Zaten sonsuz toplamlarda bile sıra verilmeden anlamsız toplama yapmak. Yine de sayılamaz çoklukta eleman üzerinden toplam yapmak istenebilir. Hadi yine aynı biçimde tanımlayalım. Yani, sonlu toplamlar kümesinin sup'u olarak. Bu durumda şunların bilmekte yarar var. Sayılamaz çoklukta bir dizi alalım ve diyelim ki sayılamaz çoklukta eleman sıfırdan büyük olsun. Bu durumda toplamı ıraksak olan bir seri muhakkak vardır. Yani böyle bir durumda toplam değeri $\infty$ olacaktır. Öte yandan, eğer hiçbir sonlu toplam belli bir $M$ sayısını geçmiyorsa, o zaman muhakkak en çok sayılabilir çoklukta eleman sıfırdan farklı olabilir. Bu da şu demek. Sayılamaz çoklukta bir kümenin elemanlarını toplamak sonlu bir sonuç çıkıyorsa sayılabilir bir dizinin toplamını yapmakla eş değerdir.

Özel olarak yukarıdaki soruya gelirsek. Reelleri değil de yalnızca rasyonel sayıları alsak bile anlamsız bir toplam. Çünkü negatif değerler alıyor ve sıra belirtilmemiş.


23, Temmuz, 2015 Safak Ozden (3,246 puan) tarafından  cevaplandı
21, Aralık, 2015 Sercan tarafından seçilmiş

çok enteresanmış

Eger $y-x$ pozitif ise $x<y$.. Genel gercel sayilar siralamasi.. Yazmazsak bunun anlasilmasi gerekmez mi?

Sayılabilir olmakla sıralanabilir olmak farklı şeyler. Mesela $2\pi$'den başlayalım. Bir sonraki eleman ne? 

Her seferinde bi sonraki elemani soylersem sayilabilir olmaz mi? Zaten kume sayilamaz lakin siralanabilir. Siralanabilirden anladigim "ordered set" olmasi. Verilen kume de "ordered". Sira belirtemisten kasit nedir?

Hangi sırada toplayacağın. Yani bir yere kadar topladın, toplama ekleyeceğin bir sonraki terim ne? Onu belirtmen gerek. Ben en sonunda sıra dedim ama kastım bu.

Tamamdir..   

peki farklı sıralarla başlarsak farklı sonuç elde edicez mi demek oluyor? bundan dolayı mı sıkıntı?

Şafak'ın cevabıyla tam olarak alakalı olmasa da kısmi olarak alakalı bir soru sordum şurada (sayılamaz çoklukta pozitif terimin toplanmasıyla ilgisini kurabilirsiniz).

...