Devamlı kesir teoremlerini kanıtlayın.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
167 kez görüntülendi

Bir $a_0$ tam sayısı ve $a_1, a_2,... $ pozitif tamsayı dizisi ile tanımlanmış

$x:=[a_0;a_1,a_2,...]:=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...}}}$ devamlı kesri için aşağıdaki teoremleri kanıtlayınız:

1. Teorem:     $p_n:=a_n p_{n-1}+p_{n-2}$,         $p_{-1}=1$ ve $p_{-2}=0$,

                       $q_n:=a_nq_{n-1}+q_{n-2}$,         $q_{-1}=0$ ve $q_{-2}=1$

ise, $\forall n\in\mathbb{N}$ için

$\frac{p_n}{q_n}$ devamlı kesrin $n.$ yakınsamasıdır, yani $\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$ .


2. Teorem: $\forall n\in\mathbb{N}:$  $\frac{1}{p_n(p_{n+1}+p_n)}<|x-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{p_n p_{n+1}}$.

21, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde fiziksever (1,168 puan) tarafından  soruldu
24, Ekim, 2015 fiziksever tarafından düzenlendi

Soruda devamlı kesir bir noktada sonlanmıyor değil mi? Yani rasyonel bir sayı değil. 

Eğer rasyonel sayı ise $[a_0,a_1,...,a_n]$ devamlı kesrinin $i-$yinci yakınsaması $i=3,4,..,n$ için;

$p_i=a_ip_{i-1}+p_{i-2}$,

$q_i=a_iq_{i-1}+q_{i-2}$ ve $p_1=a_1$, $p_2=a_2a_1+1$, $q_1=1$ ve $q_2=a_2$ denklemlerini sağlar." sorusuna denk midir?

Hayır sonlanmıyor ama sonsuz olanı sonlu devamlı kesir $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$ üzerinden de tanımlanabilir: $[a_0;a_1,a2,...]:=\text{lim}_{n\rightarrow \infty}[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$

$p_i$ ve $q_i$  uymadığı için bence bu haliyle değil (soruda $p_{-2}=0,p_{-1}=1,p_{0}=a_0,p_1=a_1+1,p_2=a_2 a_1+a_2+a_0$ ve $q_{-2}=1,q_{-1}=0,q_0=1,q_1=a_1,q_2=a_2a_1+1$), aslında uysa bile önermelerin (sorudakiyle yorumdakinin) yönleri birbirine ters ve bu denkliğin var olup olmadığı ayrı bir soru olur:)

Tamamdır. Aslında ben rasyonel sayı ise $[a_1,a_2,...,a_n]$ yazacağım yerde $a_0$ dan başlamışım. Denkliği de "Continued fractions (C.D. Olds)" kitabında okudum. Ama asıl soru $\pi$, $e$ yada  $e^{x}$ gibi devamlı kesirler için ispat.


...