Tesekkurler. Sanirim soruda X \setminus E_n yerine X \setminus E_{n+1} dersek sorunu cozuyoruz. Tanimlarla biraz oynayarak,
-
x \in \limsup E_n ancak ve ancak sonsuz sayida n icin x \in E_n ise, ve
- x \in \liminf E_n ancak ve ancak bir sure sonra her n icin x \in E_n ise
oldugunu gorebiliriz.
\liminf E_n \subseteq \limsup E_n oldugu kolayca gozukuyor boyle bakildiginda.
Esitligin olmadigini, yani dizinin yakinsamadigini varsayalim. x \in X elemani sonsuz sayida n icin E_n kumelerinde yer alsin ama bir sure sonra her E_n'de yer aliyor olmasin. Yani surekli soyle bir durumla karsilasiyoruz: x \in E_n olacak sekilde bir E_n buluyoruz surekli ama bir sure sonra oyle bir m geliyor ki x \notin E_m oluyor. Bu n'ler ve m'lerle oynayarak m = n +1 oldugunu kabul edebiliriz. Toparlayacak olursak, E_n yakinsak degilse sonsuz sayida n icin x \in E_n ve x \notin E_{n+1} (baska bir deyisle x \in X \setminus E_{n+1}) olacak sekilde bir x \in X varmis.
Ayni sekilde, boyle bir x olmamasi demek de su demek: Bir x \in X, sonlu sayida n'den sonra bir E_n'de yer aliyorsa, E_{n+1}'de de yer almalidir. O halde, bir sure sonra butun E_n'lerde yer almalidir (tumevarim). Yani, \limsup, \liminf'e esittir.