Processing math: 19%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

"(En) dizisi yakınsaktır. sonsuz çokluktaki n ler için xEn ve xXEn olacak şekilde xX noktaları yoktur." önermesinin doğruluğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (470 puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi

xEn ve xX\ En?

aynen bu şekilde verilmiş soruda

(En)'in yakinsamasi ne demek tam olarak?

Burada X bir küme, (En) de X in alt kümelerinin bir dizisi oluyor.

lim

\lim \inf E_n= \bigcup\limits_{m=1}^{\infty}(\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}E_n) 

olmak üzere \lim \sup E_n=\lim \inf E_n=E ise (E_n) dizisi E kümesine yakınsar deniyor. Tanımı bu benim bildiğim.

Tesekkurler. Sanirim soruda X \setminus E_n yerine X \setminus E_{n+1} dersek sorunu cozuyoruz. Tanimlarla biraz oynayarak, 

  • x \in \limsup E_n ancak ve ancak sonsuz sayida n icin x \in E_n ise, ve
  • x \in \liminf E_n ancak ve ancak bir sure sonra her n icin x \in E_n ise
oldugunu gorebiliriz.
\liminf E_n \subseteq \limsup E_n oldugu kolayca gozukuyor boyle bakildiginda.
Esitligin olmadigini, yani dizinin yakinsamadigini varsayalim. x \in X elemani sonsuz sayida n icin E_n kumelerinde yer alsin ama bir sure sonra her E_n'de yer aliyor olmasin. Yani surekli soyle bir durumla karsilasiyoruz: x \in E_n olacak sekilde bir E_n buluyoruz surekli ama bir sure sonra oyle bir m geliyor ki x \notin E_m oluyor. Bu n'ler ve m'lerle oynayarak m = n +1 oldugunu kabul edebiliriz. Toparlayacak olursak, E_n yakinsak degilse sonsuz sayida n icin x \in E_n ve x \notin E_{n+1} (baska bir deyisle x \in X \setminus E_{n+1}) olacak sekilde bir x \in X varmis.
Ayni sekilde, boyle bir x olmamasi demek de su demek: Bir x \in X, sonlu sayida n'den sonra bir E_n'de yer aliyorsa, E_{n+1}'de de yer almalidir. O halde, bir sure sonra butun E_n'lerde yer almalidir (tumevarim). Yani, \limsup, \liminf'e esittir.


Çok teşekkür ederim.

p : Limit vardir.

q : Boyle bir x yoktur. 

Ispat etmemiz gereken: p \iff q

Ben ne ispatladim:

Ilk once, \neg p \implies \neg q oldugunu soyledim. Yani, limit yoksa boyle bir x vardir dedim.

Sonra, q \implies p oldugunu soyledim. Boyle bir x yoksa, limit vardir dedim.

Ama bu ikisi ayni sey! Yani ayni seyi iki kere kanitlamis oldum.

Yani, yukarida vermis oldugum kanit sadece bir yonu kanitliyor. Diger yon hala kanitlanmadi. Ama bu tarz arumanlarla kanitlamasi zor degil.


20,314 soru
21,868 cevap
73,591 yorum
2,868,217 kullanıcı