Tesekkurler. Sanirim soruda X∖En yerine X∖En+1 dersek sorunu cozuyoruz. Tanimlarla biraz oynayarak,
-
x∈lim supEn ancak ve ancak sonsuz sayida n icin x∈En ise, ve
- x∈lim infEn ancak ve ancak bir sure sonra her n icin x∈En ise
oldugunu gorebiliriz.
lim infEn⊆lim supEn oldugu kolayca gozukuyor boyle bakildiginda.
Esitligin olmadigini, yani dizinin yakinsamadigini varsayalim. x∈X elemani sonsuz sayida n icin En kumelerinde yer alsin ama bir sure sonra her En'de yer aliyor olmasin. Yani surekli soyle bir durumla karsilasiyoruz: x∈En olacak sekilde bir En buluyoruz surekli ama bir sure sonra oyle bir m geliyor ki x∉Em oluyor. Bu n'ler ve m'lerle oynayarak m=n+1 oldugunu kabul edebiliriz. Toparlayacak olursak, En yakinsak degilse sonsuz sayida n icin x∈En ve x∉En+1 (baska bir deyisle x∈X∖En+1) olacak sekilde bir x∈X varmis.
Ayni sekilde, boyle bir x olmamasi demek de su demek: Bir x∈X, sonlu sayida n'den sonra bir En'de yer aliyorsa, En+1'de de yer almalidir. O halde, bir sure sonra butun En'lerde yer almalidir (tumevarim). Yani, lim sup, lim inf'e esittir.