Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

"(En) dizisi yakınsaktır. sonsuz çokluktaki n ler için xEn ve xXEn olacak şekilde xX noktaları yoktur." önermesinin doğruluğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (470 puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi

xEn ve xX\ En?

aynen bu şekilde verilmiş soruda

(En)'in yakinsamasi ne demek tam olarak?

Burada X bir küme, (En) de X in alt kümelerinin bir dizisi oluyor.

limsupEn=m=1(n=mEn)

liminfEn=m=1(n=mEn) 

olmak üzere limsupEn=liminfEn=E ise (En) dizisi E kümesine yakınsar deniyor. Tanımı bu benim bildiğim.

Tesekkurler. Sanirim soruda XEn yerine XEn+1 dersek sorunu cozuyoruz. Tanimlarla biraz oynayarak, 

  • xlim supEn ancak ve ancak sonsuz sayida n icin xEn ise, ve
  • xlim infEn ancak ve ancak bir sure sonra her n icin xEn ise
oldugunu gorebiliriz.
lim infEnlim supEn oldugu kolayca gozukuyor boyle bakildiginda.
Esitligin olmadigini, yani dizinin yakinsamadigini varsayalim. xX elemani sonsuz sayida n icin En kumelerinde yer alsin ama bir sure sonra her En'de yer aliyor olmasin. Yani surekli soyle bir durumla karsilasiyoruz: xEn olacak sekilde bir En buluyoruz surekli ama bir sure sonra oyle bir m geliyor ki xEm oluyor. Bu n'ler ve m'lerle oynayarak m=n+1 oldugunu kabul edebiliriz. Toparlayacak olursak, En yakinsak degilse sonsuz sayida n icin xEn ve xEn+1 (baska bir deyisle xXEn+1) olacak sekilde bir xX varmis.
Ayni sekilde, boyle bir x olmamasi demek de su demek: Bir xX, sonlu sayida n'den sonra bir En'de yer aliyorsa, En+1'de de yer almalidir. O halde, bir sure sonra butun En'lerde yer almalidir (tumevarim). Yani, lim sup, lim inf'e esittir.


Çok teşekkür ederim.

p : Limit vardir.

q : Boyle bir x yoktur. 

Ispat etmemiz gereken: pq

Ben ne ispatladim:

Ilk once, ¬p¬q oldugunu soyledim. Yani, limit yoksa boyle bir x vardir dedim.

Sonra, qp oldugunu soyledim. Boyle bir x yoksa, limit vardir dedim.

Ama bu ikisi ayni sey! Yani ayni seyi iki kere kanitlamis oldum.

Yani, yukarida vermis oldugum kanit sadece bir yonu kanitliyor. Diger yon hala kanitlanmadi. Ama bu tarz arumanlarla kanitlamasi zor degil.


20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,861,279 kullanıcı