$\mathbb{R}$'de seçim

Question

İki oyuncu sırasıyla $\mathbb{R}$'nin sayılamaz sonsuzlukta altkümelerini seçerek bir oyun oynuyorlar. Oyun şu şekilde işliyor:

Birinci oyuncu sayılamaz bir $A_0 \subseteq \mathbb{R}$ altkümesi seçiyor, ikinci oyuncu karşılık olarak sayılamaz bir $B_0 \subseteq A_0$ kümesi seçiyor. Daha sonra her $i \geq 0$ için sırasıyla $A_{i+1} \subseteq B_i$ ve $B_i \subseteq A_i$ olacak şekilde sayılamaz altkümeler seçerek oyunu sonsuza kadar oynamaya devam ediyorlar. Oyun sonunda $A_0 \supseteq B_0 \supseteq A_1 \supseteq B_1 \supseteq ...$ şeklinde azalan bir kümeler aile elde ediliyor ve $\bigcap_{i=0}^{\infty} A_i=\bigcap_{i=0}^{\infty} B_i$ kesişimi boş ise ikinci oyuncu kazanıyor, aksi halde birinci oyuncu kazanıyor.

İkinci oyuncunun bir kazanma stratejisi olduğunu gösteriniz. (Yani birinci oyuncu ne yaparsa yapsın ikinci oyuncunun her zaman bu kesişimin boş olmasını sağlayabileceğini gösteriniz.)

Comments

Herkes kendi seçtiği kümenin altkümesini mi seçiyor yoksa diğer oyuncu tarafından seçilen bir önceki kümenin mi altkümesini seçiyor? Böyle olmasa gerek.

İkinci oyuncunun kesişimleri boş yapabileceği söylenen "bu" kümeler hangileri.

---

Birinci oyuncunun hamleleriyle baglantili ikinci oyuncunun hamleleri,ardisira yapilan secimler diye dusunuyorum hocam..

---

Tabi, iki kişilik bir oyun olduğu için bir şekilde bağlantılı olmaları beklenir. Ama ben hala anlamıyorum.

1- Birinci oyuncu $A_1$ kümesini seçti;

2- İkinci oyuncu $B_1$ kümesini seçti;

3- Birinci oyuncu $A_2$ kümesini seçti;

4- İkinci oyuncu $B_2$ kümesini seçti;

$\vdots$

$A_{i+1}\subset A_i$ ve $B_{i+1}\subset B_i$ mi olacak, yoksa $A_{i+1}\subset B_i$ ve $B_{i+1}\subset A_i$ mi olacak?

Hangi kümelerin kesişimi boş olacak? Bi kesişim boş olacaksa, "yoksa" dediğim kısım olamaz gerçi. O halde ilk durumdaki gibi olmasını istiyorsun. Yani

"$A_{i+1}\subset A_i$ ve $B_{i+1}\subset B_i$ olacak"

Peki nelerin kesişimi boş olacak?

not: matematik yaparken/yazarken ilk kural şu: Yazılanın tek bir anlama geliyor olması gerek. Matematiğin alameti farikası budur. Deneyimli matematikçilerin "kişinin matematik bilgisini adres tarif edişinden anlarım" iddiası bu yüzdendir. Çünkü adres tarif ederken tarife uygun iki yer olursa adresi bulamazsın ve bu tarifi kötü tarif yapar. Mesela sokaktaki mavi apartmanın yanından sola dön deniyorsa, ya sokakta tek bir tane mavi apartman olmalı ya da mavi apartmanı diğer mavi apartmanlardan ayıran bir başka özellik söylenmeli.

---

Hakli bir eleştiri hocam lakin ben bu denli bir ikilem olusabilecegini tahmin etmemiştirm belki de bu kadar ayrintili dusunmedigim içindir.

Soru bana gayet yalin gelmisti :) dikkate alicam ama bundan sonra daha soru işaretsiz sormaya...

Dediğiniz gibi $A_{i+1}\subset A_{i}$ ve $B_{i+1}\subset B_{i}$ ayrica benim sorudan cikarimim $\forall A_{i} \cap B_{i}= \emptyset$ olduğu.. Yani birinci bir küme seçer ikinci bundan bagimsiz bir küme seçer daha sonra birinci ilk sectiginin bir altkumesini seçer ikinci daha önce sectiginin altkumesini seçerken birinci oyuncunun secimiyle ortak eleman bulundurmaz..

---

İkinci oyuncu birinci oyuncunun seçimini görerek mi bi seçim yapıyor? Eğer öyleyse    $a,b\in\mathbb{R}$   ve   $a<b$ olmak üzere birinci oyuncu $(a,b)$ aralığını seçmiş olduğunda (ki bu aralığın sayılamaz olduğu açık) ikinci oyuncu $\mathbb{R}-(a,b)$ yi seçebilir. Böylece birinci oyuncu kendi seçtiği kümenin hangi alt aralığını seçerse seçsin ikinci oyuncunun seçeceği alt aralıkla bi bağlantısı olmaz ve kesişimleri boş küme olur. Böyle değilse başka bi kısıtlama mı var soruda?

---

Soruyu olması gerektiği gibi düzenliyorum şimdi (ya da olması gerektiğini tahmin ettiğim gibi diyelim, soruyu daha önce görmüştüm). Her oyuncunun kendisinden bir hamle önce seçilen kümenin alt kümesini seçmesi gerekiyor.

---

Yani seçilen o bütün kümelerin kesişimini mi soruyor soru da? $\bigcap\limits_{i=0}^{\infty}(A_i\cap B_i)$ bu mu kastedilen. Acaba yanlış mı anladım..

---

Evet tüm kümelerin kesişimi soruluyor. Zaten azalan bir kümeler ailesi olduğu için otomatik olarak $\cap_{i=0}^{\infty} A_i=\cap_{i=0}^{\infty} B_i=\cap_{i=0}^{\infty} (A_i \cap B_i)$ oluyor.

---

Cantor'un kesisim teoremi (Cantor's Intersection Theorem), elimizde icice azalan bir tikiz kume dizisi varsa, bu dizinin kesiminin bos olmayacagini soyluyor. Birinci oyuncu bunu bilerek oynarsa, ikinci oyuncu nasil kazanabilir? Sinirlilik ile ilgili yapabilecegi bir sey yok. Demek ki bir sekilde kapalilik ile oynamasi lazim.

Burak'in yorumundan da hareketle, ikinci oyuncu oyle bir hamle yapmali ki birinci oyuncu artik kapali bir sey secemesin.

Tabii bu sadece bir altsenaryo. Birinci senaryo icin belli bir strateji gelistirmeye calisip, ikinci oyuncunun bunu engellemesi uzerine kurulu. Baska senaryolar da mevcut olabilir.

---

Özgür'ün yorumu üzerinden gideyim. Gerçel sayıların bir alt kümesine mükemmel küme özelliğine sahip denir ancak ve ancak ya sayılabilirse ya da mükemmel bir küme içeriyorsa.

Kapalılıkla şöyle oynayabiliriz. İkinci oyuncu ilk hamlesi olarak gerçel sayıların mükemmel küme özelliği olmayan bir altkümesini seçer. Bu noktada birinci oyuncu cevap olarak kapalı bir küme seçemez (çünkü her sayılamaz kapalı küme mükemmel küme özelliğine sahiptir).

Öte yandan gerçel sayıların mükemmel küme özelliği olmayan bir alt kümesini açık açık göstermek kolay değil. Bir miktar seçim beliti kullanmak gerekiyor. (Borel kümeler, hatta Borel kümelerin izdüşümleri olan analitik kümeler mükemmel küme özelliğine sahiptir.)

Answer 1

(Soruya kimse el atmadığı için cevap verilmeden unutulmasın diye çözümü yazayım.)

Çözüm iyi sıralama teoremine dayalı olacak. Şimdi ikinci oyuncunun kazanma stratejisini inşa edelim.

Öncelikle genelliği bozmadan $2^{\aleph_0}$ gerçel sayıların kardinal sayısı olmak üzere oyunun $2^{\aleph_0}$ üzerinde oynandığını varsayabiliriz.

İkinci oyuncunun kazanma stratejisi şöyle:

$\omega_1$ ilk sayılamaz ordinali temsil etmek üzere $B=\{\alpha \in \omega_1: \alpha=0\ \vee\ \alpha \text{ bir limit ordinal}\}$ olsun.

Birinci oyuncu bir $A_0 \subseteq 2^{\aleph_0}$ seçtikten sonra ikinci oyuncu önce sıralama koruyan bir $f_0: \omega_1 \rightarrow A_0$ fonksiyonu seçsin öyle ki $f_0[\omega_1]$ kümesi $A_0$'ın (ordinallerden gelen iyi sıralaması altında) bir başlangıç dilimi olsun. İkinci oyuncu ilk hamlesi olarak da $B_0=f_0[\omega_1-B]$ oynasın.

Şimdi birinci oyuncu karşı hamle olarak bir $A_1 \subseteq B_0$ seçecek. İkinci oyuncu sıralama koruyan bir $f_1: \omega_1 \rightarrow A_1$ bulsun öyle ki $f_1[\omega_1]$ kümesi $A_1$'in bir başlangıç dilimi olsun. Daha sonra da $B_1=f_0[\omega_1-B]$ hamlesini yapsın.

...

İkinci oyuncunun stratejisini tümevarımla kolayca inşa edebiliriz. İddiamız $\cap_{i=0}^{\infty} B_i=\emptyset$ olduğu.

Diyelim ki $\cap_{i=0}^{\infty} B_i \neq \emptyset$. Bir $\lambda \in \cap_{i=0}^{\infty} B_i$ alalım. Bu durumda $f_i$ fonksiyonları sıralamayı koruyan fonksiyonlar olduğu için $f_0^{-1}(\lambda) > f_1^{-1}(\lambda) > f_2^{-1}(\lambda) > ...$ olduğunu göstermek çok zor değil ki bu da ordinal sayılar iyi sıralı olduğu için bir çelişki verir.

Fazla sembole boğdum ortalığı matematiksel olarak düzgün yazayım diye ama strateji aslında şundan ibaret:

İkinci oyuncu birinci oyuncunun ilk hamlede seçtiği sayılamaz kümeyi ordinal sayılarla numaralandırıyor. Daha sonra 0'a ve limit ordinallere gelen karşılık elemanları çıkartıyor ve kalan kümeyi hamlesi olarak oynuyor. Birinci oyuncu bir sonraki hamlesini yaptıktan sonra ikinci oyuncu kalan elemanları sıralamayı koruyacak şekilde tekrar ordinallerle numaralandırıyor ve aynı işlemi tekrarlıyor. Herhangi bir elemanın bu süreçte karşılık geldiği ordinal sayılar (yukarıda $f_i^{-1}(\lambda)$'ya karşılık geliyorlar) gitgide azaldığı için ve sonsuza kadar azalan bir ordinal sayılar dizisi olmadığı için her eleman eli mahkum sonlu adım sonunda ikinci oyuncu tarafından dışarı atılıyor. Yani kesişim boş olmak zorunda.