yukarıda sorulan sorunun teorem olarak ifadesi şu:
Teorem: a ve b fonksiyonları açık bir $I$ aralığı üzerinde sürekli olmak üzere, $v_1$ ve $v_2$, $y''+ay'+by=0 \ ..............(1)$ denkleminin lineer bağımsız iki çözümü olsun. Eğer $f$, (1) denkleminin $I$ aralığı üzerinde herhangi bir çözümü ise, bu takdirde $\forall x \in I$ için
$f(x)=c_1v_1(x)+c_2v_2(x)$
olacak şekilde $c_1$ ve $c_2$ sabitleri vardır.
---------------------------------------------------------------------------
yukarıda anlatılmak istenen şey; 2.mertebeden lineer-homojen denklemlerin genel çözümlerinin bağımsız iki çözümü varsa, bu çözümlerin $f(x)=c_1v_1(x)+c_2y_2(x)$ genel çözümleri ile verilebileceğini söyler.
soruda a yerine özel olarak 0 alınmış.
ispata geçmeden önce iki fonksiyonun lineer bağımsızlığı ne demek, onun tanımını da verelim.
-------------------------------------------------------------------------
Tanım (İki Fonksiyonun Lineer Bağımsızlığı): Bir $I$ açık aralığı üzerinde tanımlı olan iki fonksiyondan hiçbiri, diğerinin bir sabit katı değilse, $f$ ve $g$ fonksiyonlarına, $I$ üzerinde lineer bağımsızdır denir.
bu fonksiyonların lineer bağımsız olup olmadıklarına, $\dfrac{f}{g}$ veya $\dfrac{g}{f}$ oranlarının $I$ üzerinde sabit değerli bir fonksiyon olup olmadıklarına bakarak karar vereceğiz.
-------------------------------------------------------------------------
İspat. varsayalım ki a, bir $I$ aralığı üzerinde bir nokta olsun.
$c_1.v_1(a)+c_2.v_2(a)=f(a) \\c_1.v'_1(a)+c_2.v'_2(a)=f'(a) \ ..............(2)$
için, $c_1$ ve $c_2$ bilinmeyenlerine göre (2) sisteminin x=a'daki katsayılar determinantı
$W(v_1,v_2)=\begin{vmatrix}v_1 & v_2 \\ v_1^{'} & v_2^{'}\end{vmatrix}$
olup, $v_1$ ve $v_2$ lineer bağımsız çözümler olduğu için (yukarıda teoremin ifadesinde bunların lineer bağımsız çözümler olduğu kabul etmiştik), lineer cebir bilgilerimizden $W(v_1,v_2) \neq 0$ olduğunu söyleriz.
böylece $c_1$ ve $c_2$ değerlerini tek türlü belirleyebiliriz. yani bu çözümler vardır ve tektir deriz. belirlediğimiz bu $c_1$ ve $c_2$ değerleri (1) denkleminin
$K(x)=c_1.v_1(a)+c_2.v_2(a)$
şeklindeki çözümünde kullanılabilir. öyleyse,
$K(x)=c_1.v_1(a)+c_2.v_2(a)=f(a)$ ve
$K'(x)=c_1.v_1^{'}(a)+c_2.v_2^{'}(a)=f^{'}(a)$
bulunur. $f$, $K$ ve $f'$, $K'$ ifadeleri, x=a noktasında aynı başlangıç değerlerine sahip oldukları için özdeştirler ve dolayısıyla $f(x) \equiv K(x)=c_1v_1(x)+c_2v_2(x)$ olur.
böylece, özel olarak yukarıdaki (2) sisteminde a=0 alınırsa, istenen bulunmuş olur.