$\prod_{n=1}^\infty cos( \frac{x} {2^n}) = \frac{sin(x)}{x}$ ispatı

Question

Merhabalar

Aşağıdaki denklemin ispatında yardımcı olabilir misiniz? Teşekkürler.

$\prod_{n=1}^\infty   cos( \frac{x} {2^n}) = \frac{sin(x)}{x}$

Answer 1

Sin icin  aci formulunu tekrar ve tekrar kullanirsak 

$\sin x=2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$

$=2.2\sin(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{2})$

$=2.2.2\sin(\frac{x}{8})\cos(\frac{x}{8})\cos(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{2})$

$=\vdots$

$=2^n\sin(\frac{x}{2^n}) \bigg(\prod_{k=1}^n\cos(\frac{x}{2^k})\bigg)$

elde ederiz. 

$lim_{n\rightarrow\infty}  2^n\sin(\frac{x}{2^n})=x$ oldugundan

$\frac{\sin x}{x}= \prod_{k=1}^{\infty}\cos(\frac{x}{2^k})$ olur..

Surdan alindi..

http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/cosine.pdf

Comments

Limitin yanindaki esittir fazla olmus

---

Teşekkürler hocam , anladım.