Cebirsel sayılarla ilgili bir soru

0 beğenilme 0 beğenilmeme
138 kez görüntülendi

$(\sqrt1, \sqrt1+\sqrt2, \sqrt1+\sqrt2+\sqrt3,...)$ dizisinin, kısaca genel terimi    $a_n =\sum_{k=1}^{n}\sqrt k$ olan dizisinin her teriminin bir cebirsel sayı olduğunu gösteriniz. 

Bir uygulama olarak : köklerinden birsi $1+\sqrt2+\sqrt3$ olan polinomu bulunuz.

10, Temmuz, 2015 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,827 puan) tarafından  soruldu

Bu soruya benzer eski bir soru var.

http://matkafasi.com/60/alpha%24-cismi-uzerine-cebirselse-alpha-uzerine-cebirseldir#a101

orada (farklı cevaplarda) hem teorik çözüm hem de örnek verilmiş. 

(Teorik çözümü tümevarımla birleştirerek buradaki sorunun cevabı elde ediliyor)

Gerçi ilk ispatta ufak bir hata varmış ama öz olarak doğru.

$$x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

$$\Rightarrow$$

$$(x-1)^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2-2x-4=2\sqrt{6}$$

$$\Rightarrow$$

$$(x^2-2x-4)^2=24$$

$$\Rightarrow$$

$$\ldots$$ 

Bir de daha küçük dereceden olamayacağını göstermek gerek tabi. Ek olarak da çok doğal olarak $\mathbb Q(1+\sqrt 2+\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt3)$. Biraz işlemden sonra $\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt3)$.

Polinomun katsayilari rasyonel olmak zorunda mi? Daha dogrusu birisi polinom dedigi zaman otomatikman katsayilan rasyonel oldugu mu anlasilmalidir? Katsayilari reel olan polinomlar icin "reel katsayili polinom" ifadesi kullanilmali midir?

Direk anlasilmamali aslinda, yani en basinda nerde oldugu soylenmeli. Lakin asinaliktan $\mathbb Q$ uzerinde oldugu anlasiliyor. Hem genel olarak: eger bir bilgi verilmezse taban cisim alinir, burdaki taban cisim de $\mathbb Q$.

...