Gerçel sayılarla ilgili bir soru

Question

$a,b,c$ sıfırdan farklı birer gerçel(reel) sayıdır. $ab+ac+bc\neq0$ olduğuna göre $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}$kesrinin $(-2,1)$ gerçel sayı aralığında değer alamıyacağını gösteriniz.

Answer 1

Şöyle bir başladım soruyu çözmeye,

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) \Rightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$

Kesirde yerine yazdım

$\frac{(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}{ab+ac+bc}=\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}-2$

Şimdi sorunun şartını sağlatmak için aksini varsaydım yani kesir $(-2,1)$ aralığında değer alsın. O zaman

$-2<\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}-2<1 \Rightarrow 0<\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}<3$

geldi, burada tıkandım :/ hani burada görmeliyim ki bi çelişki doğsun. :/

Comments

$(a+b+c)^2>0$ o zaman $ab+ac+bc>0$ olmalı eşitsizlikten.

Yukarıdaki özdeşliği yerine koyduğumda 

$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>0 \Rightarrow ab+bc+ac>0 $ geliyor. Alt sınırda sıkıntı yok.

üst sınırda bi çelişki gelir mi diye bakıyorum ama henüz bulamadım.:/

neyi gözden kaçırıyorum? Ya da direk başladığım yerde mi bir hata var?

---

İkili düşünürsek: $x^2+y^2-xy$ negatif olur mu?

---

$(x+y)^2<0$ olamayacağına göre $x^2+y^2-2xy<0$ olamaz.üçlüsü içinde aynı durum benzer şekilde yazılabiliyor. 

pardon pardon ben arada $2$ olmadğına dikkat etmedim.

ama  $x^2+y^2-2xy<0$ olamazken  $x^2+y^2-xy<0$ da olamaz.çünkü bu sefer daha küçük bir sayı çıkarıyoruz.gücü negatif yapmaya yetmez.

---

Daha küçük bir sayı mı? $xy>0$ ise dogru. Ya $<0$ ise?

---

O durumda zaten ifade için negatiflikten bahsetmemize gerek kalmaz ki..

---

İfade pozitif iken $xy$ negatif olabilir. Sürekli pozitif olan ikinci dereceden bir polinom hangi şartlar altında olmalı?

---

Doğru mu anladım bilmiyorum ama tam kare olan bir polinom bu şartı sağlar. Yani diskriminantı $0$ olan bir polinom olmalı.

---

Baş katsayısı pozitif olan ve diskriminantı $<0$ olanlar? Ayrıca diskriminant $=0$ ise $\geq 0$ olur.

---

genellemeye kalktığımda ne çıkacak kafam karıştı.

$ax^2+bx+c>0$ olması için 

$a>0 \wedge \Delta<0$  olmalı ayrıca $\Delta=0$ olması durumunda $0$ sonucuda karşımıza çıkıyor bunu yok etmek için ne eklemek gerekiyor?

Bir de bu bilgi den nereye ulaşmam gerekiyor idrak edemedim. :/

---

Şunu gösterecez: eger $a>0$ ve $\Delta<0$ ise pozitiftir. Bu da bir örnek olarak şunu der: $x^2+y^2-xy<0$ olamaz.

Answer 2

$ab+ac+bc\neq0$ olduğundan 

1) $ab+ac+bc<0$ ise $(a+b+c)^2\geq0 \rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\geq0$ ve 

=$a^2+b^2+c^2\geq-2(ab+ac+bc) \rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}\leq-2$ olacaktır.

2) $ab+ac+bc>0$ ise $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq0$

=$2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)\geq0$

=$a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)\geq0$

=$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}\geq1$ olur. 

Comments

çözümü gördükten sonra ne kolay geliyor. ne yanlış sularda yüzüyormuşum. 

---

Yüzmek çok güzeldir hocam...