Varsayalım ki a2=a∀a∈R sağlansın ve R değişmeli olmasın,
Dolayısıyla ∃a,b∈R öyle ki ab≠bai.eab−ba≠0
Şimdi, tanımdan dolayı,
(ab)2=ab veya açık şekilde (ab)(ab)=ab sağlanır.
Ayrıca,
a2=a ve b2=b olduğu için de,
(ab)(ab)=a2b2⇒(ab)(ab)=(aa)(bb)⇒(ab)(ab)−(aa)(bb)=0
Dağılma özelliğiyle birlikte,
a(bab−abb)=0⇒a(ba−ab)b=0
(ab−ba)b=yy≠0∈R, çünkü ab−ba≠0
Daha sonra da y2=y olacağı için de,
y(ab−ba)b=y2=y y=a için, a(ab−ba)b=a=0
Çelişki