Problemi genelleştirelim: Çemberin denklemi $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,$$ doğrunun denklemi de $$y=mx+n$$ olsun.
Yapılması gereken, çemberin ve doğrunun üzerinde iki keyfî nokta alıp bu iki nokta arasındaki mesâfeyi oluşturnak ve elde edilen bu ifâdeyi koordinatlara göre minimize etmek.
Yâni, çemberin $(x_2,y_2)$ ve doğrunun da $(x_1,y_1)$ noktalarını alalım. Bunlar tabî ki yukarıdaki denklemleri uygun şekilde sağlıyorlar.
Uzunluk fonksiyonu: $$d[(x_1,y_1); (x_2,y_2)]=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ alınırsa, ki analitik geometrinin doğal uzunluk fonksiyonudur, ve yukarıdaki fonksiyonel bağıntılar gözönüne alınırsa çok karmaşık bir ifâde çıkar. Zîrâ, $y$ koordinatlarını çıkarırken çember için kareköklü bir ifâde gelecektir. Bununla uğraşması zordur. Onun için şu gözlemi yapalım:
Çembere en yakın nokta aynı zamanda çemberin merkezine de en yakın noktadır!
Bunun avantajı açık! İki noktadan birini sâbitlemiş olduk. Tabî bunun da başka taraftan zorluğu olacak, göreceğiz. Şimdi bu şiarla uzunluğu, doğrunun koordinatının $(x,y)$ alarak, yeniden yazalım: $$d[(x,y); (a,b)]=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$
Şimdi bunu sâdece $x$'e göre minimize edeceğiz. Kolaylık olsun diye $d(x)$ yazalım:
$$d'(x)=\frac{(x-a)+m(mx+n-b)}{\sqrt{(x-a)^2+(mx+n-b)^2}}=0$$ yapan $x^*$ değerini arıyoruz. Kolay bulması: $$x^*=\frac{a+m(b-n)}{1+m^2}$$ Buradan $y^*$ da kolaylıkla bulunabilir. Biz $x$'lerden devam edelim.
Yukarıda behsettiğimiz nisbî zorluk burada başlıyor: $(x^*,y^*)$ noktasından çemberin üzerindeki eşine tekâbül eden $(x_0,y_0)$'a nasıl geçeceğiz? Bu da kolay, geometriyle. Resim çizerek kolayca görüleceği üzere bu noktaların koordinatları arasında: $$\frac{y_0-b}{y^*-b}=\frac{x_0-a}{x^*-a}$$ bağıntısı vardır. Bunu kullanmak için kareye kaldırmak lâzım: $$\frac{(y_0-b)^2}{(y^*-b)^2}=\frac{(x_0-a)^2}{(x^*-a)^2}.$$ Çemberin denklemini kullanarak $(y_0-b)^2=R^2-(x_0-a)^2$ çekilirse, $$\frac{(x_0-a)^2}{(x^*-a)^2}=\frac{R^2-(x_0-a)^2}{(y^*-b)^2}$$ alınır. Buradan kolayca, $$(x_0-a)^2=\frac{R^2(x^*-a)^2}{(x^*-a)^2+(y^*-b)^2}$$ ve $$x_0=a+\frac{R(x^*-a)}{\sqrt{(x^*-a)^2+(y^*-b)^2}}$$ bulunur. Yine çemberin denklemini kullanarak, $$(y_0-a)^2=\frac{R^2(y^*-b)^2}{(x^*-a)^2+(y^*-b)^2}$$ ve $$y_0=b+\frac{R(y^*-b)}{\sqrt{(x^*-a)^2+(y^*-b)^2}}$$ bulunur.
Şşimdi verdiğiniz parametreleri kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım. Sizin verilerinize göre: $$a=-\frac{3}{2}, b=\frac{1}{4}, R=\sqrt 5, m=2, n=\frac{73}{4}$$ olarak belirlenir, hata yapmadıysam. Bunlar yukarıdaki ifâdede yerine konursa, $$x^*=\frac{-3/2+2(1/4-73/4)}{1+2^2}=-\frac{15}{2}$$ $$y^*=2x^*-\frac{73}{4}=-15-\frac{73}{4}=-\frac{133}{4}$$ bulunur. Şimdi bunları son ifâdelere koyarsak: $$x_0=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt 5(-\frac{15}{2}+\frac{3}{2})}{\sqrt{(-\frac{15}{2}+\frac{3}{2})^2+(\frac{133}{4}+\frac{1}{4})^2}}$$ $$y_0=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt 5(\frac{133}{4}+\frac{1}{4})}{\sqrt{(\frac{133}{4}+\frac{1}{4})^2+(\frac{133}{4}+\frac{1}{4})^2}}$$ elde edilir.
Kusura bakmayın, sayılar güzel çıkmadığı için düzenlemeye üşendim.