Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
378 kez görüntülendi
(a bir gerçel sayı olmak üzere) sinaxx2=0 denkleminin gerçel köklerinin toplamı 100 olduğu bilindiğine göre a sayısını bulunuz.
(Gürcistan da, bir Matematik sınavında (belki Olimpiyat seçmeleri) sorulmuş)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 378 kez görüntülendi
sinkπ=0 olduğundan axx2=(kπ)2 denkleminden kökler toplamı x1+x2=a  ve Δ0 olacağından a24k2π20   yazılabiliyor.

axx2=kπ0 olduğundan kZ+{0} olmalı.

O zaman a2kπ veya a2πk0 olur. Yani kmaks=a2π buluruz ama kökler toplamının 100 olmasını kullanamadım.
Çözüme az bir şey kalmış.

Her bir k için kökler toplamı (axx2k2π2=0 dan) a dır. Öyleyse tüm köklerin toplamı (kmaks+1)a=(a2π+1)a=100.
Gerisi kolay.
Tamam hocam; 100 'ün (1,100),(50,2),(25,4) şeklindeki çarpanlarına bakacağız. Denediğim zaman a=25 bulunuyor.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
(1) axx2 polinomu, a'nın işaretine göre, [a,0] ya da [0,a] arasında kök içerine alınabilir.

(2) Tepe noktası a/2 olduğundan ve bu noktaya göre simetrik olduğundan 0 ile a/2 (hariç) arasındaki kökleri ikili eşleştirilirse toplamı 2(a/2) olur.

(3) Bu bilgiler ile n kök varsa kökler toplamı n(a/2) olur.

(.) Kökler toplamı gereği a, 200'ün bir pozitif tam böleni olur.

(4) Bu bilgi ile a/2 bir kök olamaz ve kök toplamı, 0 ile a/2 arasındaki  kök sayısına m dersek ma=100 olur.

(5) Tepe noktasında artan şekilde maksimum değer aldığından, kök ile, m=a/(2π) olur.

(6) aa/(2π)=100 olacak şekilde pozitif a100 değerini bulmamız gerekir.

(.) Sol taraf artan ve a=20 için 10/π<5 ve a=50 için 25/π>2 olduğundan

(7) Eşitlik sadece a=25 için sağlanabilir ve sağlanıyor.
(25.5k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
sinkπ=0 olduğundan axx2=(kπ)2 denkleminden kökler toplamı x1+x2=a  ve Δ0 olacağından a24k2π20   yazılabiliyor.

axx2=kπ0 olduğundan kZ+{0} olmalı.

O zaman a2kπ veya a2πk0 olur. Yani kmaks=a2π buluruz.

Her bir k için kökler toplamı (axx2k2π2=0 dan) a dır.

Öyleyse tüm köklerin toplamı (kmaks+1)a=(a2π+1)a=100.

100 'ün (1,100),(50,2),(25,4) şeklindeki çarpanlarına bakacağız. Denendiği zaman kolayca a=25 bulunuyor.
(3.2k puan) tarafından 
Küçük bir sorun var: a tamsayı olmak zorunda değil. Biraz daha analiz gerekiyor.
a(k+1)=100(k+1)2kπ olduğundan k=0,1,2,3 olabilir.

a(k+1)=100 ve k=a/2π birlikte düşünülürse k=3 olmalı.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,873 kullanıcı