İndirgenemez Uzaylar-2

Question

Her indirgenemez uzayın bağlantılı olduğunu gösteriniz.

Biçimsel olarak şöyle ifade edilir:

$(X,\tau),$ indirgenemez uzay $\Rightarrow (X,\tau),$ bağlantılı uzay.

Answer 1

$X$ indirgenemez topolojij bir uzay olsun. Bağlantısız olduğunu varsayalım o zaman öyle $U,V$ açık kümeleri vardır ki $U\cap V=\emptyset$ ve $U\cup V=X$ olur.

$$U\cap V=\emptyset\quad\Rightarrow\quad (X\setminus U)\cup (X\setminus V)=X$$  çelişki elde ederiz çünkü indirgenemez uzaylar herhangi "proper" kapalı kümenin birleşimi olarak yazılamazdı.

Answer 2

$(X,\tau),$ indirgenemez uzay olsun. Amacımız $(X,\tau)$ topolojik uzayının bağlantılı olduğunu göstermek.

$(X,\tau)$ topolojik uzayının bağlantılı olmadığını yani $\text{Clop}(X)\neq\{\emptyset,X\}$ olduğunu varsayarsak

 
$\text{Clop}(X)\neq\{\emptyset,X\}\Rightarrow (\exists A\in 2^X\setminus\{\emptyset,X\})(A\in\text{Clop}(X))$

 
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (A\in \tau\setminus\{\emptyset\})(A^c\in \tau\setminus\{\emptyset\}) \\ \\ (X,\tau), \text{ indirgenemez}\end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset =A\cap A^c\neq\emptyset$

 çelişkisini elde ederiz.

Comments

Tersi doğru değil herhalde; yani bağlantılı uzayın hiper bağlantılı olması gerekmiyor. Çünkü $\mathbb R$ alışılmış topolojide bağlantılı ama tanımdan anladığım hiper bağlantılı değil.

---

Evet doğru. Karşıtı her zaman doğru değil. Sizin de ifade ettiğiniz gibi bağlantılı uzayların indirgenemez olması gerekmez. $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayı bağlantılı bir uzay olmasına karşın indirgenemez bir uzay değildir.