Homolojik Cebir Sorusu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
204 kez görüntülendi

GİRİŞ:

$F$ bir funktor (Şafak Özden işlem diyordu, ingilizce: functor)  ve $0\stackrel{0}{\to} A\stackrel{\alpha}{\to} B\stackrel{\beta}{\to} C\stackrel{0}{\to}0$ (modüllerin) bir kısa tam (Şafak Özden "net" kullandı) dizisi olsun. ($FA,FB,FC$ modül ise) Şu soru çok önemli:

$0\stackrel{0}{\to} FA\stackrel{F\alpha}{\to} FB\stackrel{F\beta}{\to} FC\stackrel{0}{\to}0$ her zaman tam (net) midir? ($F$ kontravayant (contravariant) ise oklar ters yönde olacak) 

Burada şu soru akla gelmeli ($0$ bir modül olduğu için) 

$F0\stackrel{F0}{\to} FA\stackrel{F\alpha}{\to} FB\stackrel{F\beta}{\to} FC\stackrel{F0}{\to} F0$ 

dizisinin tam olmasını istemek daha doğal değil mi? ($0$ modülü ve morfizması için) $F0=0$ olmak zorunda değil ki!

(Örnek: Her modülü, sabit bir $M\neq0$ modülüne, her morfizmayı da ($M$ nin)  birim morfizmasına göndermek bir işlem (functor) tanımlar, ($0$ modülü için)$F0=M$, ($0$ morfizması için) $F0=1_M$  olur.)

Tanım: $F$ (modül kategorileri arasında) bir functor (işlem) olsun. Eğer her $f,g:A\to B$ için $F(f+g)=Ff+Fg$ oluyorsa, $F$ toplamsal (additive) bir functordur deriz.

($F$ toplamsal ise, $0$ morfizması için) $F0=0$ olduğu apaçık.

SORU:

Şunu gösterin: 

$F$ toplamsal functor ise ($0$ modülü için) $F0=0$ olmak zorundadır. 

30, Haziran, 2015 Akademik Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,341 puan) tarafından  soruldu
30, Haziran, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Soruyu tam anlamadim. Zaten dediginiz gibi kontravariant ise ters yonde olacak. Yari tam bir funktor (ya da islem) alirsak, ya da sag tam, sol tam.. Duz (Flat) olmayan bir modul ile direkt carpimini alsak mesela.
ikinci soru: dogallik ile ilgili olan: yani kisa tam dizinin kisa tam dizi olmasinin bozulmamasi isteniyor. Bu da dogal degil mi? Dogal tabi degisken bir tanim. Bence dizinin kisa tamliginin bozulmamasi istemek daha dogal.

Soru sonda 

"Şunu gösterin:" (... ise $F0=0$ olmak zorundadır), 

önceki kısım giriş. 

kısaca functor (işlem) $0$ modülünü $0$ modülüne göndermek zorunda değil ama toplamsal ise  zorunda.

O kisim icin Safak Ozden'i bekliyorum.

O soru Şafak için kolay olur. senin çözmeni bekliyorum!

Tamam hocam. Bi cozmeyi denedim ama bakalim.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$A$ bir $M$ modul olsun. ($A=0 \iff 0_A=id_A$). $F$ bir funktor oldugu icin, $F(id_A)=id_{FA}$, ayrica toplamsal oldugundan $F(0_A)=0_{FA}$.(yani toplamsal birimi, toplamsal birime gonderdi.)

30, Haziran, 2015 Sercan (22,582 puan) tarafından  cevaplandı
30, Ekim, 2015 DoganDonmez tarafından seçilmiş

Soruda  functor un (işlemin) tamlığı ile ilgili bir bilgi, varsayım yok. 

toplamsal olduğu kabulü var sadece.

pardon duzenleyeyim.

Çok güzel. Artık alttaki kısmı da silebilirsin.

...