$(2x)^{x^3}=2^{\frac{1}{12}}$ ise $x$ nedir?

Question

$(2x)^{x^3}=2^{1/12}$ ise $x$ nedir?

Comments

(Sol tarafı da 2 in kuvveti yapmak için) $x=2^y$ yazarak da çözülebiliyor.

Ama her üç çözümde de, sonlarda bir yerde, bir tahmin gerekiyor.

Answer 1

ln alırsak $$\ln(2x)=\frac{\ln 2}{12x^3} \ \ \ \text{ yani } \ \ \ 2x=e^{\frac{\ln 2}{12x^3}}$$ eşitliğini elde ederiz. $u=\frac{\ln 2}{12x^3}$ dersek $$2\left(\frac{\ln 2}{12u}\right)^{1/3}=e^u\ \ \ \text{ yani } \ \ \ \left(\frac{\ln 4}{3u}\right)^{1/3}=e^{u}\ \ \ \text{ yani } \ \ \ \frac{\ln 4}{3u}=e^{3u}$$ eşitliğini elde ederiz. $3u=\ln v$ dersek $$\ln 4 =v\ln v=\ln (v^v) \ \ \ \text{ yani } \ \ \ v^v=4$$ eşitliğini elde ederiz. Buradan $v=2$ ve $x=2^{-2/3}$ gelir.

Comments

Biraz işim çıktığından kısa kestim.

---

Bu güzel çözümde, en sondaki küçük bir noktaya açıklık gerekiyor.

$x^x$ fonksiyonu 1-1 değil ama ($x>0$ iken) 1 den büyük değerleri sadece bir kez alıyor (Bu türev ile veya türevsiz gösterilebilir).

---

Evet, kısa kestiğim yerlerden biri o. Biri de negatif çözüm var mı yok mu kısmını atladım. $(-2)^{(-2)}=1/4$ gibi.

Answer 2

$((2x)^{x^3})^8=(2^{\frac{1}{12}})^8$   $$(2x)^{(2x)^3}=2^{2/3}$$    $$2x=a$$ olsun. $$a^{a^3}={(\sqrt[3]2})^2={(\sqrt[3]2})^{(\sqrt[3]2\,)^3}$$   $$2x=a={\sqrt[3]2}$$ $$x=2^{-2/3}$$

Comments

Parantezin biri tam yerinde değildi, onu düzelttim.

---

Teşekkür ederim hocam.

Answer 3

Bunun için popüler yöntem alpercay'ın yaptığına benzer olarak $v^v=u^u$ olarak yazıp, DoganDonmez'in  yorumda dediği gibi bu fonksiyonun $1$'den sonra (pozitif bölgede) birebir olduğunu kullanmak. $$2^2=\left(2^{1/12}\right)^{24}=\left((2x)^{x^3}\right)^{24}=(8x^3)^{8x^3}$$ olarak yazarsak $$8x^3=2 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ x=2^{-2/3}$$ gelir.