$(x+7)f(x)-(x+1)f(x+2)=0$ ise $f$ fonksiyonunu bulunuz

Question

$f$ polinom fonksiyon olmak üzere her $x$ reel sayısı için $$(x+7)f(x)-(x+1)f(x+2)=0$$ koşulunu sağlıyor.

$f(1)=24$ ise $f$ fonksiyonunu bulunuz.

Comments

Farklı yaklaşımlar da görmek isterim.

---

Ben de böyle düşündüm Sercan hocam.

---

Ben de aynı çözümü yapmıştım. Daha farklı bir yöntem bulamadım. Ama mevcut çözüm yolu da gayet güzel ve anlaşılır zaten.

---

Recurrence relation tarzı bir fikir nasıl olur diye düşündüm. Üç terimli gibi olsa nasıl bir yol izlenirdi tarzı.

---

$\frac{f(x)}{f(x+2)}=\frac{x+1}{x+7}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+3)(x+7)}=\frac{(x+1)(x+3)(x+5)}{(x+3)(x+5)(x+7)}=\frac{c(x+1)(x+3)(x+5)}{c(x+3)(x+5)(x+7)}$ den $f(x)=c(x+1)(x+3)(x+5)$

Answer 1

İlk olarak $(x+7)f(x)=(x+1)f(x+2)$ olarak yazalım.
Bu durumda $x+1\mid f(x)$ ve $x+7|f(x+2)$ sağlanır.

 

$f(x)=(x+1)(x+5)a(x)$ olarak yazarsak, sadeleşme ile $$(x+5)a(x)=(x+3)a(x+2)$$ sağlanır. Buradan $(x+3)\mid a(x)$ olduğunu elde ederiz.

 

$a(x)=(x+3)b(x)$ olarak yazarsak, sadeleşme ile $$b(x)=b(x+2)$$ eşitliği gelir ve $b$ polinomu sonsuz noktada eşit değerler alacağından sabit polinom olur.

 

Dolayısıyla bir $c$ sabiti için $$f(x)=c(x+1)(x+3)(x+5)$$ eşitliği sağlanır.

 

Ayrıca $f(1)=24$ olduğundan $$f(x)=\frac12(x+1)(x+3)(x+5)$$ eşitliği sağlanır.