Processing math: 25%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
617 kez görüntülendi
Karşılaştığım ilginç bir problemi paylaşmak istedim.

Problem: n bir pozitif tam sayı olmak üzere xn+xn1++x1=0 denkleminin pozitif kökü xn olsun. (xn) dizisinin limitinin var olduğunu gösterip bu limiti bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 617 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
nN+ için 12<xn1 olduğunu göstermek zor değil.

Denklemi düzenleyerek, eşitliği, x1 için xn+1=2x1 şeklinde yazabiliriz.
    Önce, Matematiksel Tümevarım ile, nN+ için, xn12+1n+1 olduğunu göstereceğiz.

 n=1,2 için, xn12+1n+1  olduğu kolayca görülüyor.
 Bir n2 için xn12+1n+1 olsun.
Bu, (12+1n+1<1 oluşunu da kullanarak) (12+1n+1)n+12(12+1n+2)1=2n+1 olması demektir.

(12+1n+2)n+2=(12+1n+2)n+1(12+1n+2)<(12+1n+1)n+1(12+1n+2)2n+1(12+1n+2)=1n+1+2(n+1)(n+2)
    elde ederiz.
    n2 için, 2n+2(1n+1+2(n+1)(n+2))=n2(n+1)(n+2)0 olduğundan,
 (12+1n+2)n+2<2(12+1n+2)1 olması demektir.
 (12)n+2>2×121 ve (xn+2 ve 2x1 sürekli olduğundan, Ara Değer Teoremi kullanılarak)
12<xn+112+1n+2 olduğu elde edilir.

    Daha sonra da, lim oluşundan, Sıkıştırma Teoremi kullanarak, \lim\limits_{n\to\infty} x_n=\frac12 elde edilir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Eğri ve doğrunun [0,1] aralığındaki konumları

Tebrikler hocam. \dfrac{1}{2}<x_n\leq \dfrac12+\dfrac1{n+1} eşitsizliğini de ayrı bir soru olarak sormayı düşünüyordum ama sorunun kafasına vurmuşsunuz zaten.

 

Limit problemini bir başka yolla çözdüm ve uygun bir vaktimde yazıp paylaşacağım. Limitin bir sonucu olarak \dfrac{1}{2} < x_n elde ediyoruz ama sizi x_n\leq \dfrac12+\dfrac1{n+1} eşitsizliğini düşünmeye götüren neden neydi? Bunu merak ediyorum. Saygılar.
Gereksiz bir " \forall n\in\mathbb{N}^+ için" vardı, onu sildim.
Kökleri tam olarak bulamadığımız için böyle bir eşitsizliğe gerek var diye düşündüm. Bir kaç denemeden sonra bu eşitsizliğin doğru olduğunu gördüm. Daha basit bir çözüm de olabilir diye düşünüyorum..
1 beğenilme 0 beğenilmeme
\color{red}{\text{Çözüm 2:}}

x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1=0 denkleminde n=1 durumunda x-1=0 olup x_1=1 kökü elde edilir. n\geq 2 olsun. x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1=0 denkleminin pozitif kökü olan x_n sayısı için x_n\geq 1 olsaydı x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1 \geq n - 1 \neq 0 çelişkisi elde edilir. f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1 fonksiyonunu tanımlayalım. f(0)=-1 ve f(1)=n-1\geq 1 olduğundan ara değer teoremi gereğince (0,1) aralığında en az bir gerçel kök vardır. Yani  n\geq 2 iken pozitif kök 0< x_n < 1 olmalıdır. Ayrıca yalnız bir pozitif kök olduğunu göstermek de kolaydır. (0,1) açık aralığında (ve hatta (0,\infty) aralığında) f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1 fonksiyonu artan olduğundan bu aralıkta fonksiyon bire birdir. Yani birden fazla kök olamaz. Bir başka yol ise 0<x_{n}<x_{m}<1 şeklinde iki kök var olduğunu kabul edip x_{n}^2<x_{m}^2<1,  x_{n}^3<x_{m}^3<1, ... , x_{n}^n<x_{m}^n<1 yazabiliriz. Böylece f_n(x_n)<f_n(x_m) olur. İki pozitif kök olamayacağını iyice anlamış oluyoruz.

n\geq 2 olmak üzere x_{n+1} ve x_n sayıları sırasıyla f_{n+1}(x)=0 ve f_{n}(x)=0 denklemlerinin pozitif kökü olsun. Yani

x_{n+1}^{n+1}+x_{n+1}^{n}+\cdots+x_{n+1}^{2}+x_{n+1}-1 = x_{n}^{n}+x_{n}^{n-1}+\cdots+x_{n}^{2}+x_{n}-1 = 0

olur. Bu eşitliği x_{n+1}^{n+1} + f_n(x_{n+1}) = f_n(x_n) = 0 biçiminde yazabiliriz. x_{n+1}^{n+1} >0 olup f_n(x_{n+1}) < f_n(x_n) elde edilir. f_n(x) fonksiyonu (0,1) aralığında artan olduğundan olduğundan 0<x_{n+1}<x_{n}<1 sonucuna ulaşılır. O halde her n pozitif tam sayısı için (x_n) dizisi sınırlı ve azalandır. Monoton yakınsaklık teoremi gereğince \lim (x_n) = L şeklinde bir L gerçel sayısı vardır.  0<x_{n}<1 bilgisinden dolayı 0\leq L <1 dir.

x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1=0 denkleminden x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 = 2 yazalım ve bir 0<x<1 sayısı için sonlu geometrik toplam formülünden \dfrac{x^{n+1} -1}{x-1} = 2 olur. Düzenlersek x^{n+1} = 2x -1 olur. x=x_n sayısı bu denklemi sağladığından x_n^{n+1} = 2x_n -1 olur. Her iki tarafın limitini alırsak \lim x_n^{n+1} = 2\lim (x_n) - 1 olur. 0\leq L <1 olduğundan \lim x_n^{n+1} = 0 olur. Böylece 0 = 2L - 1 olup L=\dfrac{1}{2} elde edilir.

 

\color{red}{\text{Notlar:}}
\color{red}\bullet Bu limitin bir sonucu olarak her n\geq 2 tam sayısı için \dfrac{1}{2}<x_n<1 olduğunu anlıyoruz. Limit yaklaşımından bağımsız olarak, x_n\leq \dfrac{1}{2} biçiminde bir pozitif kök olduğunu kabul edersek f(x_n)\leq f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{2^n} + \dfrac{1}{2^{n-1}} + \cdots + \dfrac{1}{2^1} - 1 = \dfrac{1-\dfrac{1}{2^{n+1}}}{1- \dfrac{1}{2}} - 2 = -  \dfrac{1}{2^n} < 0 olup f(x_n)<0 çelişkisi elde edilir. Böylelikle \dfrac{1}{2}<x_n<1 elde edilir.

\color{red}\bullet Biraz daha ilginç olabilecek bir eşitsizlik vardır: n\geq 2 tam sayısı için \dfrac{1}{2}<x_n<\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{n+1} sağlanır. Doğan Dönmez'in çözümünde bu eşitsizliğin bir ispatı verilmiştir.
(2.6k puan) tarafından 
Bu çözüm güzelmiş.
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,967 kullanıcı