Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
613 kez görüntülendi
Karşılaştığım ilginç bir problemi paylaşmak istedim.

Problem: n bir pozitif tam sayı olmak üzere xn+xn1++x1=0 denkleminin pozitif kökü xn olsun. (xn) dizisinin limitinin var olduğunu gösterip bu limiti bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 613 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
nN+ için 12<xn1 olduğunu göstermek zor değil.

Denklemi düzenleyerek, eşitliği, x1 için xn+1=2x1 şeklinde yazabiliriz.
    Önce, Matematiksel Tümevarım ile, nN+ için, xn12+1n+1 olduğunu göstereceğiz.

 n=1,2 için, xn12+1n+1  olduğu kolayca görülüyor.
 Bir n2 için xn12+1n+1 olsun.
Bu, (12+1n+1<1 oluşunu da kullanarak) (12+1n+1)n+12(12+1n+2)1=2n+1 olması demektir.

(12+1n+2)n+2=(12+1n+2)n+1(12+1n+2)<(12+1n+1)n+1(12+1n+2)2n+1(12+1n+2)=1n+1+2(n+1)(n+2)
    elde ederiz.
    n2 için, 2n+2(1n+1+2(n+1)(n+2))=n2(n+1)(n+2)0 olduğundan,
 (12+1n+2)n+2<2(12+1n+2)1 olması demektir.
 (12)n+2>2×121 ve (xn+2 ve 2x1 sürekli olduğundan, Ara Değer Teoremi kullanılarak)
12<xn+112+1n+2 olduğu elde edilir.

    Daha sonra da, limn12=limn(12+1n+1)=12 oluşundan, Sıkıştırma Teoremi kullanarak, limnxn=12 elde edilir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Eğri ve doğrunun [0,1] aralığındaki konumları

Tebrikler hocam. 12<xn12+1n+1 eşitsizliğini de ayrı bir soru olarak sormayı düşünüyordum ama sorunun kafasına vurmuşsunuz zaten.

 

Limit problemini bir başka yolla çözdüm ve uygun bir vaktimde yazıp paylaşacağım. Limitin bir sonucu olarak 12<xn elde ediyoruz ama sizi xn12+1n+1 eşitsizliğini düşünmeye götüren neden neydi? Bunu merak ediyorum. Saygılar.
Gereksiz bir "nN+ için" vardı, onu sildim.
Kökleri tam olarak bulamadığımız için böyle bir eşitsizliğe gerek var diye düşündüm. Bir kaç denemeden sonra bu eşitsizliğin doğru olduğunu gördüm. Daha basit bir çözüm de olabilir diye düşünüyorum..
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Çözüm 2:

xn+xn1++x1=0 denkleminde n=1 durumunda x1=0 olup x1=1 kökü elde edilir. n2 olsun. xn+xn1++x1=0 denkleminin pozitif kökü olan xn sayısı için xn1 olsaydı xn+xn1++x1n10 çelişkisi elde edilir. fn(x)=xn+xn1++x1 fonksiyonunu tanımlayalım. f(0)=1 ve f(1)=n11 olduğundan ara değer teoremi gereğince (0,1) aralığında en az bir gerçel kök vardır. Yani  n2 iken pozitif kök 0<xn<1 olmalıdır. Ayrıca yalnız bir pozitif kök olduğunu göstermek de kolaydır. (0,1) açık aralığında (ve hatta (0,) aralığında) fn(x)=xn+xn1++x1 fonksiyonu artan olduğundan bu aralıkta fonksiyon bire birdir. Yani birden fazla kök olamaz. Bir başka yol ise 0<xn<xm<1 şeklinde iki kök var olduğunu kabul edip x2n<x2m<1,  x3n<x3m<1, ... , xnn<xnm<1 yazabiliriz. Böylece fn(xn)<fn(xm) olur. İki pozitif kök olamayacağını iyice anlamış oluyoruz.

n2 olmak üzere xn+1 ve xn sayıları sırasıyla fn+1(x)=0 ve fn(x)=0 denklemlerinin pozitif kökü olsun. Yani

xn+1n+1+xnn+1++x2n+1+xn+11=xnn+xn1n++x2n+xn1=0

olur. Bu eşitliği xn+1n+1+fn(xn+1)=fn(xn)=0 biçiminde yazabiliriz. xn+1n+1>0 olup fn(xn+1)<fn(xn) elde edilir. fn(x) fonksiyonu (0,1) aralığında artan olduğundan olduğundan 0<xn+1<xn<1 sonucuna ulaşılır. O halde her n pozitif tam sayısı için (xn) dizisi sınırlı ve azalandır. Monoton yakınsaklık teoremi gereğince lim(xn)=L şeklinde bir L gerçel sayısı vardır.  0<xn<1 bilgisinden dolayı 0L<1 dir.

xn+xn1++x1=0 denkleminden xn+xn1++x+1=2 yazalım ve bir 0<x<1 sayısı için sonlu geometrik toplam formülünden xn+11x1=2 olur. Düzenlersek xn+1=2x1 olur. x=xn sayısı bu denklemi sağladığından xn+1n=2xn1 olur. Her iki tarafın limitini alırsak limxn+1n=2lim(xn)1 olur. 0L<1 olduğundan limxn+1n=0 olur. Böylece 0=2L1 olup L=12 elde edilir.

 

Notlar:
Bu limitin bir sonucu olarak her n2 tam sayısı için 12<xn<1 olduğunu anlıyoruz. Limit yaklaşımından bağımsız olarak, xn12 biçiminde bir pozitif kök olduğunu kabul edersek f(xn)f(12)=12n+12n1++1211=112n+11122=12n<0 olup f(xn)<0 çelişkisi elde edilir. Böylelikle 12<xn<1 elde edilir.

Biraz daha ilginç olabilecek bir eşitsizlik vardır: n2 tam sayısı için 12<xn<12+1n+1 sağlanır. Doğan Dönmez'in çözümünde bu eşitsizliğin bir ispatı verilmiştir.
(2.6k puan) tarafından 
Bu çözüm güzelmiş.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,869 kullanıcı