$n\geq 3$ olan her tek mertebe için $m$-düzenli çizgenin varlığı

Question

$\color{red}{\textbf{Problem:}}$ Her $n\geq 3$ tek tam sayısı ve $2\leq m < n$ aralığındaki her $m$ çift tam sayısı için $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizgenin varlığını kanıtlayınız. 

 

$\color{blue}{\textbf{Notlar:}}$

$\color{blue}\bullet$ $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizge, köşelerin her birinin derecesinin aynı $m$ sayısına eşit olduğu çizgelerdir.

$\color{blue}\bullet$ $m$ ve $n$ tek sayı iken $n$ köşeli $m$-düzenli çizge yoktur. Çünkü çizgenin toplam derecesi $m\cdot n$ bir tek sayıdır ve Leonard Euler'in El Sıkışma Teoremi ne göre, çizgenin toplam derecesi çift sayı olmalıdır. Çelişki.

$\color{blue}\bullet$ n çift sayı durumu incelenmişti. Bunlarla beraber düşünülürse, $n$ köşeli $m$-düzenli çizgeler ile ilgili olarak $(m,n)$ ikililerinin alabileceği tüm değerleri belirlemiş oluyoruz. 

Answer 1

$\color{red}{ \text{Çözüm: }}$ $n=2k+1$ tek tam sayı olsun ($k\geq 1$). İndislerdeki toplama çıkarma işlemleri modülo $n$ üzerinde olmak üzere, çizgenin köşeleri $A_1A_2\dots A_n$ düzgün çokgeninin köşeleri olsun.

 

$m=2t$ ($t\geq 1$) çift tek sayı iken  $A_i$ köşesini kendinden önceki ilk $t$ tane köşeye, kendinden sonraki ilk $t$ tane köşeye birleştiririz. Yani $A_i$ noktasını, $\{ A_{i-1}, A_{i-2}, \dots, A_{i-t}, A_{i+1}, A_{i+2}, \dots, A_{i+t} \}$ noktalarıyla birleştirerek $\deg(A_i)= 2t = m$ elde ederiz. Böylece, verilen aralıktaki her $m$ çift sayısı için uygun konfigürasyon bulunmuş olur.

$n=11$ ve $m=6$ için örnek çizim aşağıdadır.