Tüm basamakları aynı olan sayılar tamkare olamazlar

Question

$a$ bir rakam olmak üzere $10$ tabanında verilen $n$ basamaklı $(n\ge 2)$ $$aaa...a$$ sayısının tamkare olamayacağını gösteriniz.

Answer 1

Bir tam kare sayının birler basamağı
$0,1,4,9,6,5$
olabilir.

Çift bir tam kare $4$ ile bölünmeli
bu nedenle son iki basamağı
$66$
olamaz.

Son iki basamağı $11,55,99$
olan sayılar $4k+3$ formunda olduğundan
bir tam kare olamaz.

Sadece $a=4$ durumu kaldı.
Bu da $a=1$ durumuna denk olduğundan
bir tam kare elde edemeyiz.

Answer 2

Sercan ınkinden azıcık farklı bir çözüm:

Mod 100 kare sayılar (0 ı saymıyorum)

1,4,9,16,25,49,64,81,21,44,69,96,56,89,24,61,41,84,29,76

olur. Bunlar arasında sadece 44 ün basamakları aynı.

Ama, bu durumda,  sayımız $444\cdots44=2^2\times11\cdots1$ olurdu, ama $11\cdots1$ in tam kare olmadığını (Sercan ın çözümündeki gibi, alpercay ın önceki probleminden dolayı) biliyoruz.

Comments

81 i unutmuşum, listeye ekledim.