Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
511 kez görüntülendi
nN için 8n+47'nin hiçbir zaman asal sayı olmadığını gösteriniz.

(Balkan Gençler Matematik Olimpiyatları (1512 yaş altı) için kısa listeye alınmış bir soru)
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 511 kez görüntülendi
n çift iken sayı 6k+3 olarak yazılabildiğinden asal olmadığını görmek kolay. Fakat n tek iken sayı 6k+1 şeklinde ve bu kalıpta sayının bileşik bir sayı olduğunu göremedim.
Birkaç (5-6) tanesini hesaplayınca ne olacağı tahmin edilebiliyor.
n çift iken sayı 6k+3 şeklinde yazılabildiğinden 3 ün katı. n tek iken hesap yapıldığında periyodik olarak 5 ve 13 ün katları oluyor. O zaman mod3 ve mod5 durumlarına bakalım.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
nN sayısına 0,1,2,3,4,5,6,7  değerleri verildiğinde 8n+47 ifadesinin sırasıyla 3k,5k,3k,13k,3k,5k,3k,13k,...  değerlerini aldığını gözlemleyelim.

n çift iken kZ  için 8n+47=3(mod6) yani 8n+47=3(2k+1) olarak yazılabildiğinden asal değildir.

n nin tek sayı olduğu durumlarda ise 8n+47 yukardaki diziden 5 veya 13 ün katı olmalı.

Şimdi n=2k+1 ve k çift sayı olsun. İfadeyi modülo 5 te düşünürsek ,8n+47=82k+1+47=64k.8+47=(1)k.3+2=0(mod5) ve k tek iken ifadeyi modülo 13'te düşünürsek, 8n+47=82k+1+47=64k.8+47=(1)k.8+8=0(mod13) elde edileceğinden n sayısının tek olması durumunda da 8n+47  asal değildir.
(3.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,905 kullanıcı