Processing math: 36%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
367 kez görüntülendi
p3+q3+1=p2q2 eşitliğini sağlayan tüm asal sayı ikilerini bulunuz.

(Balkan Gençler Matematik Olimpiyatları (1512 yaş altı) Kıbrıs seçmelerinde sorulmuş bir soru)
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 367 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

(p,q) bu eşitliği sağlayan bir asal sayı çifti olsun.

p=q olsaydı, bu eşitlikten, p1 yanlış sonucuna ulaşırdık. Öyleyse pq olmalıdır.

Bu asal sayılardan (denklem simetrik olduğundan) büyük olanına p diyelim, p>q olur.

p2q3+1 olduğu görülüyor. q3+1=(q+1)(q2q+1) dir.

p>q olduğundan p2>q2q+1 olur, bu nedenle, p2 dir.

p asal olduğundan, p\mid q+1 olmalıdır.

q tek olsaydı, p de tek olur ve (p>q oluşundan) p>q+1 olurdu. Bu ise, p\mid q+1 olması ile çelişir.

Öyleyse q=2 olmalıdır. p asal (EK: ya da p>2) ve p\mid3  olduğu için p=3 olmak zorundadır.

p=3,\ q=2 çiftini denklemi sağladığı kolayca görülüyor.

Denklem sistemini sağlayan biricik asal sayı çifti \{2,3\} dür.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Şurada da (biraz daha uzun) bir çözümü var.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,933 kullanıcı