Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.5k kez görüntülendi

Düzgün bir altıgenin içindeki bir noktadan 4 (ardışık) köşeye birer doğru çizilerek (bitişik) 3 üçgen oluşturuluyor.

Üçgenlerin alanları, sırasıyla, 8,13 ve 14 birim kare olduğuna göre düzgün altıgenin alanını bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 2.5k kez görüntülendi
Ek bir veri var mı hocam?
Hayır başka bilgi gerekmiyor (bana da önce bir şey eksik gibi gelmişti).

Soruyu ve tamamen geometrik kısa çözümünü beğendim.

Bir de uzunca, rutin trigonometrik çözümü var (ben bunu bulabildim, belki başka çözümleri de vardır).
Düzgün altıgenin köşelerini sol üst köşeden başlayarak adlandıralım. Sırasıyla A,B,C,D,E ve F olsun. [AB] yi B yönünde [CD] yi C yönünde uzatalım. Kesiştikleri yere H diyelim. O halde BHC üçgeni bir eşkenar üçgen oldu. Diğer taraftan düzgün altıgenin bir kenar uzunluğuna a br diyelim.  P ve H noktaları birleştirildiğinde [HP] ile [BC] nin kesiştiği yere de M diyelim.  O halde APH üçgeninde PB keseni kenarortay olduğundan oluşan iki üçgen eşit alana sahiptir. Yani |BPH|=14 br2 olur.

|PKB|=S br2  olsun dersek. |BHK|=14S br2 ve |PKC|=13S br2 olur. Benzer durumlar PHD üçgeninde olduğundan |KHC|=S5 br2 olur. O halde BHC eşkenar üçgenin alanını 9 br2 olur. Dolayısıyla düzgün altıgenin alanı da 9.6= 54 br2 olur.
Bu çözüm, lokman gökçe nin çözümüne yaptığım yorumdaki  çözümün (farklı harfler kullanılmış) aynısı değil mi?
Evet aynısı. Ben bu çözümü hiçbir çözüm ve yorum yok iken yazmıştım. Onaylanması uzun zaman aldı sadece.
Tamam HakanErgun. Bazan öyle olabiliyor(muş). Çözüm olarak da yazılabilirmiş.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

AB ve CD doğrularının kesişimi G olmak üzere BCG bir eşkenar üçgendir. P noktasından AB,BC,CD dorularına inen dikme ayakları sırasıyla K,L,M olsun. |AB|=|BC|=|CD|=a olduğundan, |PK|,|PL|,|PM| yükseklikleri de PAB,PBC,PCD üçgenlerinin alanları ile orantılı olur. Buna göre |PK|=14h,|PL|=13h,|PM|=8h diyebiliriz. Viviani teoremi gereğince, BCG eşkenar üçgeninin bir yüksekliği h=14h13h+8h, yani h=9h olacaktır. Dolayısıyla eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu a=63h olur.

Alan(PCD)=a8h2=4ah=8 olup ah=2 elde edilir.

Alan(ABCDEF)=6a234=27ah=54 sonucuna ulaşılır.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

YouTube da benzer, ama Viviani Teoremini kullanmayan, aşağıdaki çözüm var:

ABC eşkenar üçgenini çizelim. EK: AP nin BC yi kesme noktasına Q diyelim.

(Taban uzunlukları ve yükseklikleri aynı olduğu için) ABP nin alanı= 8 ve ACP nin alanı=14 olur.

CPQ üçgeninin alanına x diyelim.

BPQ üçgeninin  alanı 13x olur.

ABQ üçgeninin  alanı 8(13x)=x5 olur.

ACQ üçgeninin alanı 14x olur.

ABC üçgeninin alanı (14x)+(x5)=9 olur.

Altıgenin alanı da, ABC üçgenini alanının 6 katı olduğu için, 54 olarak bulunur.

Bu çözüm daha az hesaplama içeriyor, beğendim.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Benim, trigonometri kullanarak, bulduğum çok uzun çözüm:

(Bu arada, üçgenlerin alanı için, daha önce gördüğümü hatırlamadığım, ama bilinen bir formülü yeniden keşfettim)

Altıgenin bir kenarına a, ortadaki üçgenin bu kenara komşu açılarına α veβ diyelim.

Altıgenin alanı 63a24=33a22 olur.

Önce

12absin(120α)=8 ve 12absinα=13 oluşundan 13sin(120α)=8sinα elde ederiz.

cosα=x diyelim, (0<α<120 olduğundan)  sinα=1x2 olur. Buradan:

13(32x+121x2)=81x2 elde ederiz. Buradan:

cotα=x1x2=3133 bulunur.

Benzer şekilde, cotβ=15133 bulunur.

Bir kenarı a, bu kenara bitişik açıları α ve β olan bir üçgenin alanı A=a22(cotα+cotβ) olur (ispatı oldukça kolay olan bu formül sanırım az biliniyor).

Buradan, ortadaki üçgenin alanı için:

26=a23133+15133 eşitliğinden, altıgenin alanı 33a22=54 olarak bulunur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Bir üçgenin alanının A=a22(cotβ+cotγ) olduğunu gösteriniz.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,882 kullanıcı