Düzgün altıgenin alanını bulunuz

Question

Düzgün bir altıgenin içindeki bir noktadan 4 (ardışık) köşeye birer doğru çizilerek (bitişik) 3 üçgen oluşturuluyor.

Üçgenlerin alanları, sırasıyla, 8,13 ve 14 birim kare olduğuna göre düzgün altıgenin alanını bulunuz.

Comments

Ek bir veri var mı hocam?

---

Hayır başka bilgi gerekmiyor (bana da önce bir şey eksik gibi gelmişti).

Soruyu ve tamamen geometrik kısa çözümünü beğendim.

Bir de uzunca, rutin trigonometrik çözümü var (ben bunu bulabildim, belki başka çözümleri de vardır).

---

Düzgün altıgenin köşelerini sol üst köşeden başlayarak adlandıralım. Sırasıyla A,B,C,D,E ve F olsun. [AB] yi B yönünde [CD] yi C yönünde uzatalım. Kesiştikleri yere H diyelim. O halde BHC üçgeni bir eşkenar üçgen oldu. Diğer taraftan düzgün altıgenin bir kenar uzunluğuna a br diyelim.  P ve H noktaları birleştirildiğinde [HP] ile [BC] nin kesiştiği yere de M diyelim.  O halde APH üçgeninde PB keseni kenarortay olduğundan oluşan iki üçgen eşit alana sahiptir. Yani $|BPH|=14$ $\text br^2$ olur.

$|PKB|=S$ $\text br^2$  olsun dersek. $ |BHK|= 14-S$ $\text br^2$ ve $|PKC|=13-S$ $\text br^2$ olur. Benzer durumlar PHD üçgeninde olduğundan $|KHC|=S-5$ $\text br^2$ olur. O halde BHC eşkenar üçgenin alanını 9 $\text br^2$ olur. Dolayısıyla düzgün altıgenin alanı da 9.6= 54 $\text br^2 $ olur.

---

Bu çözüm, lokman gökçe nin çözümüne yaptığım yorumdaki  çözümün (farklı harfler kullanılmış) aynısı değil mi?

---

Evet aynısı. Ben bu çözümü hiçbir çözüm ve yorum yok iken yazmıştım. Onaylanması uzun zaman aldı sadece.

---

Tamam HakanErgun. Bazan öyle olabiliyor(muş). Çözüm olarak da yazılabilirmiş.

Answer 1

$AB$ ve $CD$ doğrularının kesişimi $G$ olmak üzere $BCG$ bir eşkenar üçgendir. $P$ noktasından $AB, BC, CD$ dorularına inen dikme ayakları sırasıyla $K, L, M$ olsun. $|AB|=|BC|=|CD|=a$ olduğundan, $|PK|, |PL|, |PM|$ yükseklikleri de $PAB, PBC, PCD$ üçgenlerinin alanları ile orantılı olur. Buna göre $|PK|=14h, |PL|=13h, |PM|=8h$ diyebiliriz. Viviani teoremi gereğince, $BCG$ eşkenar üçgeninin bir yüksekliği $h' = 14h - 13h + 8h$, yani $h' = 9h$ olacaktır. Dolayısıyla eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu $a=6\sqrt{3}h$ olur.

$Alan(PCD) = \dfrac{a\cdot 8h}{2} = 4ah=8$ olup $ah= 2$ elde edilir.

$Alan(ABCDEF) = 6\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 27 ah = 54$ sonucuna ulaşılır.

Comments

YouTube da benzer, ama Viviani Teoremini kullanmayan, aşağıdaki çözüm var:

$ABC$ eşkenar üçgenini çizelim. EK: $AP$ nin $BC$ yi kesme noktasına $Q$ diyelim.

(Taban uzunlukları ve yükseklikleri aynı olduğu için) $ABP$ nin alanı= $8$ ve $ACP$ nin alanı=$14$ olur.

$CPQ$ üçgeninin alanına $x$ diyelim.

$BPQ$ üçgeninin  alanı $13-x$ olur.

$ABQ$ üçgeninin  alanı $8-(13-x)=x-5$ olur.

$ACQ$ üçgeninin alanı $14-x$ olur.

$ABC$ üçgeninin alanı $(14-x)+(x-5)=9$ olur.

Altıgenin alanı da, $ABC$ üçgenini alanının $6$ katı olduğu için, $54$ olarak bulunur.

---

Bu çözüm daha az hesaplama içeriyor, beğendim.

Answer 2

Benim, trigonometri kullanarak, bulduğum çok uzun çözüm:

(Bu arada, üçgenlerin alanı için, daha önce gördüğümü hatırlamadığım, ama bilinen bir formülü yeniden keşfettim)

Altıgenin bir kenarına $a$, ortadaki üçgenin bu kenara komşu açılarına $\alpha$ ve$\beta$ diyelim.

Altıgenin alanı $6\:\frac{ \sqrt3\,a^2}4=\frac{ 3\sqrt3\,a^2}2$ olur.

Önce

$\frac12ab\sin(120-\alpha)=8$ ve $\frac12ab\sin\alpha=13$ oluşundan $13\sin(120-\alpha)=8\sin\alpha$ elde ederiz.

$\cos\alpha=x$ diyelim, ($0<\alpha<120$ olduğundan)  $\sin\alpha=\sqrt{1-x^2}$ olur. Buradan:

$13\left({\sqrt3\over2}x+{1\over2}\sqrt{1-x^2}\right)=8\sqrt{1-x^2}$ elde ederiz. Buradan:

$\cot\alpha={x\over\sqrt{1-x^2}}={3\over{13\sqrt3}}$ bulunur.

Benzer şekilde, $\cot\beta={15\over13\sqrt3}$ bulunur.

Bir kenarı $a$, bu kenara bitişik açıları $\alpha$ ve $\beta$ olan bir üçgenin alanı $A={a^2\over2(\cot\alpha+\cot\beta)}$ olur (ispatı oldukça kolay olan bu formül sanırım az biliniyor).

Buradan, ortadaki üçgenin alanı için:

$26={a^2\over {3\over{13\sqrt3}}+{15\over{13\sqrt3}}}$ eşitliğinden, altıgenin alanı ${3\sqrt3\, a^2\over 2}=54$ olarak bulunur.