Diocles in "cissoid" eğrisinin denklemini bulunuz.

Question

Bir çember ve onun bir teğeti veriliyor. Teğete dik olan çapın diğer ucu teğetin noktalarına birleştiriliyor.

Teğet üzerindeki noktadan (bu doğru parçası üzerinde bulunan) kirişin uzunluğu kadar çıkarılarak bu doğru parçası üzerinde bir nokta elde ediliyor. Bu noktaların denklemini bulunuz. İpucu: Kutupsal Koordinatlarda kolay.

(Bu, daha önce sözünü ettiğim lise bitirme sınavında, E. Lasker' e özel olarak sorulan sorunun bir parçası, devamında bu eğri ile ilgili 3-4 soru sorulmuş)

Comments

Bu eğriyi kullanarak 2 nin küpkökü, geometrik olarak, çizilebiliyor (Delian Problemi).

Answer 1

$A$ noktası: kutup, çap: kutup ekseni olacak şekilde kutupsal koordinat sistemi seçelim (karışmaması için yarıçapı $a$ olarak değiştirdim).

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, eğri üzerindeki noktanın kutupsal kordinatları $P(2a(\sec\theta-\cos\theta),\theta)$ olur.

Yani eğrinin (bu şekilde seçilen) kutupsal koordinatlarda denklemi $r=2a(\sec\theta-\cos\theta)=2a\sin\theta\tan\theta$ olur.

Eğrinin denklemini dik koordinatlarda yazalım:

$r^2=2ar\sin\theta\tan\theta$,    $x^2+y^2=2ay\,{y\over x}$,    $x(x^2+y^2)=2ay^2$. Bu da düzenlenerek,

 $y^2=\dfrac{x^3}{2a-x}$ şekline getirilebilir.

Bu denklemde çemberin merkezi $O(a,0)$, teğet ise $x=2a$ (düşey) doğrusudur.