Erdös Mordell Eşitsizliği

Question

Problem [P. Erdös, 1935]: $ABC$ üçgeninin içinden alınan bir $P$ noktasından üçgenin kenarlarına (gerekirse uzantılarına) inen dikme ayakları $K, L, M$ olsun.

$$|PA| + |PB| + |PC| \geq 2(|PK| + |PL| + |PM|)$$

eşitsizliğini kanıtlayınız.

 

 

Paul Erdös bu eşitsizliği AMM'de sorduğunda kendisi de kanıtını bilmiyordu. Problem çok ilgi görse de, ancak $2$ yıl sonra $1937$'de dönemin güçlü matematikçilerinden Louis Joel Mordell tarafından temel trigonometrik yöntemler (sinüs, kosinüs teoremleri vs) kullanılarak çözüldü.

Bu çözüm, trigonometrik ifadeleri kaldırıp yerine uzunluk, alan bağıntıları kullanmak için çok uygundur. Dikkatli incelenirse görülüyor ki; sonraki dönemlerde yapılan bir çok estetik çözüm, temel olarak Mordell'in çözümünün modifiye edilmiş biçimleridir. Mordell'in çözümünü ve bazı anekdotları anlattığım bir video hazırladım.

 

Türkçe bilgi oluşumuna katkı için başka çözümleri de buraya ekleyebiliriz.

Answer 1

Tüm çözümlerde kullanacağımız genel gösterimleri tanımlayalım: $|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c$ ve $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ olsun. $ABC$ üçgeninin $[BC], [CA], [AB]$ kenarlarına (gerekirse uzantılarına) inen dikmelerinin uzunluklarını $|OP|=x, |OQ|=y, |OR|=z$ ile gösterelim. $|OA|=R_1, |OB|=R_2, |OC|=R_3$ olsun.

 

Çözüm 1 [L. J. Mordell, 1937]:

 

$AQOR$ bir kirişler dörtgeni olduğundan, $\angle QOR = \beta + \gamma$. $OQR$ üçgeninde kosinüs teoreminden, $$QR = \left(y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta + \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} .$$
 $ARQ$ üçgeninde sinüs teoreminden, $$\dfrac{QR}{\sin \alpha} = R_1 .$$
Böylece,
$$\begin{align*}  R_1 & = \left(y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta + \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha  \\ & = \left(y^2 + z^2 - 2yz(\cos\beta  \cos\gamma - \sin \beta \sin \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\ & = \left(y^2(\cos^2 \gamma + \sin^2\gamma) + z^2(\cos^2 \beta + \sin^2\beta)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\ & = \left( \left( y\cos\gamma - z \cos\beta \right)^2 + \left( y\sin\gamma + z \sin\beta \right)^2\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\ & \geq \left( y\sin\gamma + z \sin\beta \right) / \sin \alpha . \end{align*}$$
Buradan $$R_1 \geq y\dfrac{\sin\gamma}{\sin\alpha} + z\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} .$$
elde ederiz. Benzer şekilde, 
$$\begin{align*}  R_2 & \geq z\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} + x\dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} \\ R_3 & \geq x\dfrac{\sin\beta}{\sin\gamma} + y\dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma} . \end{align*}$$
yazabiliriz. Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,
$$R_1 + R_2 + R_3 \geq x\left( \dfrac{\sin\beta}{\sin\gamma} + \dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} \right)  + y\left( \dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma} + \dfrac{\sin\gamma}{\sin\alpha}  \right) + z\left( \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} \right) .$$

$a,b$ pozitif sayıları için aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2$ olur. Sonuç olarak
$$R_1 + R_2 + R_3 \geq 2(x + y + z)$$
eşitsizliğine ulaşırız.

Eşitlik koşulunu belirleyelim. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinde, $\sin\alpha = \sin\beta = \sin\gamma$ olmalıdır ve $\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$ bulunur. Yani $ABC$ bir eşkenar üçgendir. Ayrıca, $\left( y\cos\gamma - z \cos\beta \right)^2 = 0$ koşulundan $y=z$ elde edilir. Benzer eşitlik koşullarından $z=x$ olup $x=y=z$ bulunur. $O$ noktası $ABC$ eşkenar üçgeninin merkezi iken eşitlik sağlanır.

 

Dipnot: Bu, Erdös'ün sunduğu eşitsizliğe verilen ilk ispattır ve 1937'de Louis Joel Mordell tarafından AMM'de yayımlanmıştır. Gördüğünüz gibi, ispatı tamamen temel yöntemler içeriyor. Mordell'in ispatının güçlü etkileri daha sonra verilen ispatlarda da görülebilir.