Question

$c=273,\ a-b=91$ ve $c$ kenarına ait yüksekliği $156$ olan üçgenin tüm elemanlarını (diğer kenarları ve açılarını) bulunuz.

Soru, başka bir alanda (gerçekten) çok ünlü, matematikde (de ünlü ama) daha az tanınmış birine, lise bitirme sınavında sorulan sorulardan biri.

Soruyu soran kişi daha sonra bunun gibi standart üç soruyu daha kolayca çözdüğünü görünce, bu kişiye özel epeyce daha zor bir soru eklemiş onu da kolayca çözdüğünü yazmış anılarında. Diğerlerini de sormayı düşünüyorum.

Soru belki çok ilginç değil, ama kişi çok ilginç, kim olduğunu tahmin edenler olacaktır, olmaz ise cevaptan sonra yazarım.

Answer 1

Not: İşlem hatası uyarıları için teşekkür ederim. Düzeltmeler yapılmıştır:

 

Önce tüm uzunlukları $13$ ile sadeleştirelim. Bu işlem üçgende açıları değiştirmez. $Alan(ABC)=S=\dfrac{21\cdot 12}{2} = 21\cdot 6$ olur. Heron formülünü

$$16S^2 = (2u)(2u-2a)(2u-2b)(2u-2c)$$

biçiminde yazalım. $16\cdot 6^2\cdot 21^2 = (a + b + 21)(a + b - 21)(21 - 7)(21 + 7) $ olup $16\cdot 6^2\cdot 21^2 = ((a+b)^2  - 21^2) \cdot 7^2\cdot 8 $ yazılır. Buradan $(a + b)^2 = 1089 = 33^2$ olup $a + b = 33$ elde edilir. Dolayısıyla $ a=20, b=13, c = 21$ dir. $13$ ile genişletilmiş biçimde $a= 260$, $b= 169$ olur. $\angle A = \arctan\dfrac{12}{5}$, $\angle B = \arctan\dfrac{3}{4}$, $\angle C = \arctan \dfrac{\dfrac{5}{12} + \dfrac{16}{12}}{1-\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{4}{3}}= \arctan \dfrac{63}{16}$ elde edilir.

Comments

Lokman hocam senin çözümde  a+b=33 ve a-b=7 verildiğinden a=20 çıkmalı.

---

Soru fizikçi Richard Feynman"a mı sorulmuş?

---

Söz konusu kişi, 2. (ve en uzun süre) dünya satranç şampiyonu  Emanuel Lasker.

Max Noether danışmalığında matematik doktorası yapmış (https://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=60257), idealler ile ilgili Lasker-Noether Teoremi olarak bilinen teoremi bulan kişi(lerden biri) .

Okuduğum biyografisinde (Emanuel Lasker: The Life of a Chess Master), satrancı,  hayatını kazanmak için yapmak zorunda kaldığı bir şey olarak düşündüğü anlatılıyor. A. Einstein, Lasker için "tanıdığım en ilginç kişilerden biri" diyor biyografinin önsözünde.

Answer 2

Akla ilk geldiği şekilde çözüm düşünmüştüm: $AB$ kenarının yükseklik ayağı $H$ ve $AH=k, BH=21-k, AC=b, BC=b+7$ olsun. Dik üçgenlerde pisagor teoremi yazıldığında $$k^2+12^2=b^2$$, $$(21-k)^2+12^2=(b+7)^2$$ eşitlikleri kullanılarak $$b+3k=28$$ denklemine ulaşılır. $b\gt k$ ve $k^2+12^2=b^2$ kosulları altında bu eşitlik $k=5$ ve $b=13$ için sağlanır. Dolayısıyla $a=20$ olur. Bu bir test sorusu olsaydı 5-12-13 ve 3-4-5 üçgenlerinin şartları sağlayıp sağlamadığına bakılabilirdi.