Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
625 kez görüntülendi
f(x)=sin1x kuralı ile verilen f fonksiyonu (0,1) aralığı üzerinde düzgün sürekli midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 625 kez görüntülendi
Sürekli bir fonksiyon ile düzgün sürekli bir fonksiyonun bileşkesinin düzgünlüğünü karakterize eden bir teorem varsa direkt bir cevap verebiliriz. O zaman sinx fonksiyonu düzgün sürekli ve 1/x fonksiyonu düzgün sürekli olmadığından bileşkeleri sin(1/x) düzgün sürekli değildir deriz. Yoksa tanıma başvurabiliriz.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Diğer çözümden daha uzun ama tanımdan başka hiç bir şey kullanmayan başka bir çözüm:

Düzgün sürekli olduğunu varsayıp bir çelişki elde edeceğiz.

ε=1 alalım. Düzgün süreklilik tanımından:

|x1x2|<δ ve x1,x2(0,1) olduğunda |sin1x1sin1x2|<ε=1

olacak şekilde bir δ>0 sayısı vardır.

(Arşimet Özelliğini kullanarak)  N>12πδ olacak şekilde bir  N doğal sayısı alalım.

x1=12Nπ, x2=12Nπ+π2 olsun.

x1,x2(0,1) ve |x1x2|<x1<δ olur. δ nın seçiminden,

1=|01|=|sin1x1sin1x2|<ε=1 olur. Çelişki.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Düzgün sürekli fonksiyonlar Cauchy dizilerini, Cauchy dizilerine resmeder.

 

(1n)n2 dizisi, (0,1) kümesi üzerinde  bir Cauchy dizisi olmasına karşın bu dizinin terimlerinin f fonksiyonu altındaki görüntülerinden elde edilen (sinn) dizisi bir Cauchy dizisi değildir. (Neden?) Dolayısıyla f(x)=sin1x kuralı ile verilen f fonksiyonu, (0,1) aralığı üzerinde düzgün sürekli değildir.
(11.5k puan) tarafından 
(sinn) dizisi, R'de bir Cauchy dizisi midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.
20,289 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,620,565 kullanıcı