Cebirsel ve Transandant Fonksiyon Tanımı

Question

Arkadaşlar malum matematikte tanımlar çok önemli eğer bir şeyi doğru anladığını zannedip yoluna devam edersen ilerde çok sıkıntı yaşanabilir dolayısıyla calculus çalışırken bir konunun tanımını tam anlayıp anlayamadığımdan şüphe etmekteyim şöyleki: cebirsel fonksiyonlar polinomlar arasında yapacağımız cebirsel işlemlerle (toplama,çıkarma,çarpma,bölme,reel sayı üssünü alma) gibi elde edebileceğimiz fonksiyonlar mıdır örneğin

$(x-3)^{1/2}(5x+4)$ çarpımından oluşacak fonksiyonun cebirsel olması gibi ve transandant fonksiyon ise polinomlar arasında yapacağımız cebirsel işlemlerle elde edilemeyecek fonksiyonlar mıdır yani $f(x)=a^x$ (a sabit bir sayı ve x değişken olmak üzere) üstel fonksiyonunu herhangi iki polinom arasında yapacağımız toplama,çıkarma,çarpma,bölme,üs alma gibi işlemlerle elde edemeyeceğiz çünkü üstel fonksiyonun üzerinde bir değişken var ve herhangi bir polinomun bir reel sayı üssünü alma işlemi uygulasak bile polinomun terimlerinin üssünde değişken bulunamayacağı için üstel fonksiyonun transandant yani cebirselliği aşan bir fonksiyon olmasının nedeni bu mudur

Teşekkürler

Answer 1

Cebirsel fonksiyon, bir polinom denklemin kökü olarak yazılabilen fonksiyonlardır. Cebirsel olmayan fonksiyonlara da transandant fonksiyon denir.

 

• Mesela $y=\frac{1}{x^2}$ kuralı ile verilen fonksiyon, $x^2y-1=0$ polinomunun bir kökü olduğundan cebirsel bir fonksiyondur.
• Benzer şekilde $y=\sqrt[5]{x}$ kuralı ile verilen fonksiyon, $y^5-x=0$ polinomunun bir kökü olduğundan cebirsel bir fonksiyondur.
• Yine $y=\frac{x^3}{\sqrt{x}+2}$ kuralı ile verilen fonksiyon, (yanlış hesaplamadıysam) $xy^2-x^6+4x^3y-4y^2=0$ polinomunun bir kökü olduğundan cebirsel bir fonksiyondur.

Comments

Üstel fonksiyon neden cebirsel değil?

---

(Kompleks sayılarda) üstel fonksiyon periyodikdir. (Sabit olmayan) Cebirsel fonksiyon periyodik olamaz.

(Bu güzel bir soru olur)

---

Ben zaten gcelik'in sorduğu soru bu diye düşünmüştüm.

---

arkadaşlar thomas calculus kitabında şöyle tanımlamış "Bir cebirsel fonksiyon, polinomlardan, cebirsel işlemler kullanılarak (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma), polinomlardan elde edilen bir fonksiyondur. Rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlaın özel bir halidir" internette bulduğum birçok tanımda da bir polinom denklemin kökü olabilen fonksiyonlardır diyor tam anlayamadım

---

"Bir cebirsel fonksiyon, polinomlardan, cebirsel işlemler kullanılarak (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma), polinomlardan elde edilen bir fonksiyondur" tanımı pek iyi olmamış.

Yazar, lisans 1. sınıf düzeyinde, fazla detaya girmemek için (dikkatli bakılınca hatalı) bir kısa yol seçmiş olmalı.

$y^5+y-x+1=0$ ile tanımlı cebirsel fonksiyonu (5. derece polinomların kökleri ile ilgili Abel in teoreminden dolayı) o şekilde yazamayız. İkinci tanım doğru tanım.

---

Cebirsel sayıların cebirsel fonksiyon altındaki görüntüsü yine bir cebirsel sayıdır. Eğer $f(x)=e^x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu cebirsel bir fonksiyon olsaydı $f(1)=e^1=e$ sayısının da cebirsel bir sayı olması gerekirdi. Ancak $e$ sayısı cebirsel bir sayı değildir. Dolayısıyla da $f$ fonksiyonu da cebirsel bir fonksiyon olamaz. $e$ sayısının aşkın (transandant) olduğununun kanıtı bu linkte mevcut.