Pappus centroid teoremi der ki:
- Bir $C$ egrisinin dondurulmesi ile olusan yuzeyin alani $A=sd$.
Burada $s$ $C$ egrisinin uzunlugu, $d$ ise $C$ nin agirlik merkezinin ne kadar hareket ettigi
- Bir $F$ seklinin dondurulmesi ile olusan cisimin hacmi $V=Ad$.
$A$ burada $F$ in alani, $d$ ise $F$ in agirlik merkezinin ne kadar hareket ettigi
Silindir icin $C$ egrimiz $y$ eksenine $r$ uzakliginda paralel $h$ uzunlugunda bir dogru parcasi olsun. yani $A=h\cdot 2\pi r$.
Gene silindir icin $F$ seklini, $r\times h$ lik bir dikdortgen secebiliriz. Agirlik merkezimiz $y$ eksenine $\frac{r}{2}$ uzaklikta.Yani $V = rh\cdot2\pi\frac{r}{2} = \pi r^2 h$
Koni icin ayni islemler alan icin $x=y$ dogrusu, hacim icin ise bir dik ucgen ile yapilabilir.
Duzenleme dayanamadim koninin hacmini de hesapladim. $F$ seklimiz $h \times r$ lik y eksenine dayanmis bir dik ucgen olsun. Bunu y ekseni etrafinda cevirecegiz. Bu ucgenin agirlik merkezinin $x$ koordinati $\frac{r}{3}$ dur. $y$ ekseni etrafinda bir tur donunce, katettigi mesafe $2\pi\frac{r}{3}$ $F$ in alani ise $\frac{hr}{2}$, yani koninin hacmi $V = 2\pi\frac{r}{3} \cdot \frac{hr}{2} = \frac{\pi hr^2}{3}$