Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
611 kez görüntülendi

Soru (Lokman GÖKÇE): P(x) polinomunun x10+x5+1 ve x51 ile bölümünden kalanlar sırasıyla x5 ve 2  polinomlarıdır. P(x)'in Φ15(x)=x8x7+x5x4+x3x+1 polinomu ile bölümünden kalan nedir? 

(Φ15(x) polinomunun bir siklotomik polinom olduğuna dikkat ediniz. Ayrıca sitede bununla ilgili bir teorem vardır.)

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 611 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Çözüm 2: Siklotomik polinomlarla ilgili aşağıdaki teoremi kullanalım.

Teorem: n-inci siklotomik polinom Φn ve d<n, dn herhangi bir pozitif bölen olmak üzere
Φn(x)xn1xd1
olur.

Bu teoreme göre n=15 sayısının d=5 pozitif böleni için Φ15(x)x151x51 olur. Yani Φ15(x)x10+x5+1'dir. Dolayısıyla P(x)=(x10+x5+1)R(x)x5 polinomunun da 8-inci dereceden olan Φ15(x) polinomu ile bölümünden kalan x5'tir.

 

Çözüm 3: a,b,c negatif olmayan tam sayılar olmak üzere x3a+2+x3b+1+x3c polinomu x2+x+1 ile tam bölünür. (İspatını Çarpanlarına Ayırma başlığında vermiştim.) a=1, b=3, c=0 özel durumunda x2+x+1x10+x5+1 olduğunu anlarız. Uzun bölme yaparsak
x10+x5+1=(x2+x+1)(x8x7+x5x4+x3x+1)=(x2+x+1)Φ15(x) 
elde edilir. Böylece Çözüm 2'deki gibi  P(x)=(x10+x5+1)R(x)x5 polinomunun da 8-inci dereceden olan Φ15(x) polinomu ile bölümünden kalan x5 bulunur.

(2.6k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanıt: x5

Çözüm 1: P(x) polinomunun x151=(x10+x5+1)(x51) ile bölümünden kalanın ax10+b polinomu olduğunu tahmin edelim. Bunu sağlayan a,b gerçel sayılarını araştıralım.

P(x)=(x151)Q(x)+ax10+b polinomunun x51 ile bölümünden kalanı bulmak için x5=1 yazılır. Buradan a+b=2 elde edilir.

P(x)=(x151)Q(x)+ax10+b polinomunun x10+x5+1 ile bölümünden kalanı bulmak için x10=x51 yazılır. Buradan a(x51)+b=x5 ve ax5a+b=x5 elde edilir. Polinom eşitliği ile a=1, b=1 bulunur. (Aynı zamanda bu değerler a+b=2 denklemi ile uyumludur.)

Böylece P(x)=(x151)Q(x)+x10+1 elde ederiz. Φ15(x), 15-inci siklotomik polinom olduğundan Φ15(x)x151 dir. O halde P(x)'in Φ15(x) ile bölümünden kalanı bulmak için x10+1 polinomunun Φ15(x)=x8x7+x5x4+x3x+1 bölümünden kalanını hesaplamak yeterlidir. Uzun bölme yapılırsa ya da  x10+1'de x8=x7x5+x4x3+x1 yazılarak ilerlenirse kalan x5 bulunur.

(2.6k puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,682 kullanıcı