Yanıt: −x5
Çözüm 1: P(x) polinomunun x15−1=(x10+x5+1)(x5−1) ile bölümünden kalanın ax10+b polinomu olduğunu tahmin edelim. Bunu sağlayan a,b gerçel sayılarını araştıralım.
P(x)=(x15−1)Q(x)+ax10+b polinomunun x5−1 ile bölümünden kalanı bulmak için x5=1 yazılır. Buradan a+b=2 elde edilir.
P(x)=(x15−1)Q(x)+ax10+b polinomunun x10+x5+1 ile bölümünden kalanı bulmak için x10=−x5−1 yazılır. Buradan a(−x5−1)+b=−x5 ve −ax5−a+b=−x5 elde edilir. Polinom eşitliği ile a=1, b=1 bulunur. (Aynı zamanda bu değerler a+b=2 denklemi ile uyumludur.)
Böylece P(x)=(x15−1)Q(x)+x10+1 elde ederiz. Φ15(x), 15-inci siklotomik polinom olduğundan Φ15(x)∣x15−1 dir. O halde P(x)'in Φ15(x) ile bölümünden kalanı bulmak için x10+1 polinomunun Φ15(x)=x8−x7+x5−x4+x3−x+1 bölümünden kalanını hesaplamak yeterlidir. Uzun bölme yapılırsa ya da x10+1'de x8=x7−x5+x4−x3+x−1 yazılarak ilerlenirse kalan −x5 bulunur.