Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi
Iraksadigini duydum ama nasil gosteririm emin olamadim
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi
p asal olmasa ne oluyor ki?
Bunun Euler carpim formulu ile bir ispatini biliyorum ama ayrilan kenar cok kucuk :)
yerim dar diyip oynamayi reddetmek matematik dunyasinda cok goruluyor :P

Boyle bir şey var. Belki Haydar'a mail atıp konuşma linkini isteyebilirsin.

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Güzel bir soru.

wikipedia daki (pn: n inci  asal sayı olmak üzere)

(n6) için n(lnn+lnlnn)>pn>n(lnn+lnlnn1) eşitsizliğini kullanarak (her şey n6 için)

pn<2nlnn ve buradan, 1pn>12nlnn (EDIT: daha önce 1n>12nlnn yazmışım onu düzelttim) elde edilir.

Daha sonra da, 1nlnn (pozitif terimli) serisinin ıraksak oluşundan (integral testi ile kolay), Karşılaştırma Testi kullanarak, 

1pn serisinin ıraksak olduğu sonucuna varılır.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Hocam integral testini kullanmadan 1/n.lnn 'in ıraksak olduğunu nasıl elde edebilirim?

Direk karşılaştırma testi işe yaramadı, 1/n ile kıyasladım yine sonuç elde edemedim. Ne ile kıyas yapmalıyım?

belki su isinizi gorur

Karşılaştırma testi çok güçlüdür, fakat, ondan yararlanabilmek için, elimizde, verilen seri ile karşılaştırılabilecek  çok sayıda (karakteri bilinen) seri olmalıdır.

Örneğin: 1nlnnln(lnn) serisi ıraksaktır (neden?) ve yeterince büyük n ler için, 1nlnn1nlnnln(lnn) dir

Sadece p -serileri ve geometrik seriler kullanarak bu serinin ıraksak olduğunun Karşılaştırma Testi ile gösterilebileceğini sanmıyorum. @eloi nin önerdiği testi dene.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Euler once sunu gosterdi: Harmonik seri

 

H=k=11k=pP111p  olur.

 

Iki tarafin logaritmasini alalim..

 

lnH=ln(pP111p)=ln(112)ln(113)ln(115)    (1)

 

ln(1+x)'in Taylor serisisini yazalim.

ln(1+x)=xx22+x33x44

ln(1x)=xx22x33x44

ln(1x)=x+x22+x33+x44+  bizim isimize bu yarar. (1) deki sag taraftaki herbir terimi Taylor serisi olarak yazalim..

 

 

lnH=12+(12)22+(12)33+(12)44+

+13+(13)22+(13)33+(13)44+

+15+(15)22+(15)33+(15)44+



Alt alta toplarsak.

lnH=pP1p+12pP1p2+13pP1p3+14pP1p4+

 

Integral Testinden sunu biliyoruz,  n2 icin,

 

k=21kn11xndx=1n1

 

pP1p2k=21k211x2dx=121=1

 

pP1p3131=12

 

pP1p4141=13

 

pP1p5151=15



 

12pP1p2+13pP1p3+14pP1p4+

121+1312+1413+1514+

=12+16+112+120+

(112)+(1213)+(1314)+(1415)=1

 

Boylece

 

lnH=pP1p+12pP1p2+13pP1p3+14pP1p4+1

 

H=k=11k Harmonik serisi iraksaktir ve dolayisiyla lnH iraksaktir. Sol taraf iraksak oldugundan sag taraf da iraksak olur.
(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Alt alta toplayabiliyor muyuz oyle ?

Buralarda biraz dikkatli olmak gerekir, ıraksak sonsuz bir serinin ve ıraksak sonsuz bir çarpımın "değer"leri ile işlem yapıyoruz.

Benzer işlemleri, sonlu toplam ve sonlu çarpım için yapmak daha sağlıklı olur.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,936 kullanıcı