$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x+3}{1+\sqrt{x}}$

Question

$$\lim_{x\to 0} \dfrac{x+3}{1+\sqrt{x}}$$ limiti için $3$'e eşittir mi demeliyiz, yoksa 'YOKTUR' mu demeliyiz?

 

1. Görüş:  $\sqrt{x}$'in tanım kümesinden dolayı sadece $x\geq 0$ durumu ele alınıp sağdan limit hesabı yapılır, sağdan limitin değeri olan $3$, aranan limittir.

 

2. Görüş: Soldan limit $$\lim_{x\to 0^-} \dfrac{x+3}{1+\sqrt{x}}$$ olmadığından  $$\lim_{x\to 0} \dfrac{x+3}{1+\sqrt{x}}$$ limiti de yoktur. Veya  $$\lim_{x\to 0} \dfrac{x+3}{1+\sqrt{x}}$$ limitinden bahsedemeyiz, demeliyiz.

 

3. Görüş (Nasreddin Hoca Yaklaşımı): Hangi görüşü benimsediğinize göre sorunun cevabı değişir. Birinci görüşü benimseyenler haklıdır, ikinci görüşü benimseyenler de haklıdır. Herkesin limit tanımı kendine.

-Nasreddin hocam ikisi birden haklı olur mu hiç?

+Sen de haklısın!

 

Ek Soru: Limit varsa, bunu delta-epsilon tekniği ile gösterelim.

Ben biraz ilerlettim ve şöyle bir şeyler oluştu.

Her $\epsilon >0$ için $|x|<\delta$ iken $|f(x) - 3|<\epsilon$ olacak biçimde bir $\epsilon = \epsilon (\delta )$ sayısı bulunabildiğini göstermeliyiz. Burada $f(x)=\dfrac{x+3}{1+\sqrt{x}}$ fonksiyonudur.

$|f(x) - 3|= \left|\dfrac{x-3\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right|$ ifadesinde $0\leq x \leq 9$ için $\dfrac{x-3\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \leq 0$ dır. $x$'in $0$'a yakın bir pozitif gerçel sayı olduğunu düşünerek işlemlerimizi yapalım. ($x >9$ iken de ayrıca bir inceleme gerekecektir, fakat bu basamak zor olmasa gerek.)

 

$|f(x) - 3|= \left|\dfrac{x-3\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right|=\left| \dfrac{x+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} - \dfrac{4\sqrt{x}+4}{1+\sqrt{x}}+ \dfrac{4}{1+\sqrt{x}}\right|= \left| \sqrt{x} - 4 + \dfrac{4}{1+\sqrt{x}} \right| = 4 - \sqrt{x} -  \dfrac{4}{1+\sqrt{x}}$

elde ettim. $4 - \sqrt{x} -  \dfrac{4}{1+\sqrt{x}} \leq 1$ olduğunu kanıtlayabilirim ama $4 - \sqrt{x} -  \dfrac{4}{1+\sqrt{x}} \leq \epsilon (\delta )$ biçiminde bir ifade bulmalıydım. $\epsilon = 1 + \delta$ seçsek sıkıntı olur mu? Maks. değer hesabına girmeden daha basit bir çözüm varsa ekleyebilirsiniz. Teşekkürler.

Comments

Soruya bir ekleme koydum. İsterseniz yorumunuzu da cevaba dönüştürebilirsiniz Doğan hocam. Teşekkürler.

---

$0^-$ 'dan bakmaya hakkımız var mı?

Eğer bu düşünceye göre $\lim_{x\to 0} \sqrt{x}$ limiti olmaz, yanlışım varsa lütfen düzeltin

---

$\varepsilon$ değil $\delta$ bulmak gerekiyor.

---

@sametoytun, bir fonksiyon yazarken her zaman fonksiyonun tanım kümesi açık açık belirtilmeyebilir. Özel bir durum yoksa çoğu zaman fonksiyonun sadece kuralı yazılır. Bu durumda okur, sadece kuralı verilen fonksiyonun tanım kümesinin ne olduğunu fonksiyonun kuralına göre kendisi anlar.  $$f(x)=\frac{x+3}{1+\sqrt{x}}$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesi, $x$ yerine geldiğinde $\frac{x+3}{1+\sqrt{x}}$ ifadesini gerçel sayı yapan gerçel sayıların oluşturduğu küme alınır. Burada da bu küme $[0,\infty)$ aralığıdır. $0$ gerçel sayısı, $[0,\infty)$ aralığının bir soldan yığılma noktası olmadığı için $$\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{x+3}{1+\sqrt{x}}=?$$ sorusu ANLAMSIZ bir sorudur. Burada artık $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+3}{1+\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{x+3}{1+\sqrt{x}}$$ yani  $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+3}{1+\sqrt{x}}=3$$ olacaktır.

Answer 1

Sağdan limit, soldan limit kavramları gerçel sayılarda (ve az sayıda başka uzayda) tanımlı fonsiyonlar için anlamlı kavramlardır.

Genel topolojik uzaylarda, sağ (büyük), sol (küçük) kavramları anlamsızdır.

Üniversite 1. sınıfta çok değişkenli fonksiyonlar incelendiğinde, sağdan soldan limit anlamsızlaşır. Orada, bazan, sağdan soldan limitlere kısmen benzeyen doğrular/eğriler boyunca limitler kullanılır. 

Genel topolojik uzaylarda limit kavramı (fonksiyonun tanım kümesinin yığılma (=limit noktası da deniyor) noktalarında) (sadece topolojik kavramlar kullanarak) benzer şekilde tanımlanabilir. Metrik uzaylar söz konusu ise, bu (topolojik) tanım $\varepsilon-\delta$ tanımının nerdeyse aynısı olur.

Fonksiyonun hedef uzayı Hausdorff ise limit (varsa) tek olur.

Bu örnekte, fonksiyonun tanım kümesi (murad.ozkoc un da belirttiği gibi) tanım kümesi (alışılmış kabuller ile) $[0,+\infty)$ olup, 0 sayısı, fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktasıdır. 

O tanıma göre ($\mathbb{R}$ lerde standart topoloji kullanıldığında) bu limit 3 olur:

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin. $\delta=\min\{\frac{\varepsilon^2}9,1\}$ alalım. $0<|x|<\delta$ ve $x\in[0,+\infty)$ olduğunda

($0<x<1$ olur, ilk eşitlik soruda gösterilmiş) $|f(x)-3|=\dfrac{\sqrt x (3-\sqrt x)}{1+\sqrt x}<3\sqrt x<3\sqrt{\delta}\leq\varepsilon$ olur.

Edit: Bir kaç yazım hatasını düzelttim.