Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
689 kez görüntülendi

limx0x+31+x limiti için 3'e eşittir mi demeliyiz, yoksa 'YOKTUR' mu demeliyiz?

 

1. Görüş:  x'in tanım kümesinden dolayı sadece x0 durumu ele alınıp sağdan limit hesabı yapılır, sağdan limitin değeri olan 3, aranan limittir.

 

2. Görüş: Soldan limit limx0x+31+x olmadığından limx0x+31+x limiti de yoktur. Veya limx0x+31+x limitinden bahsedemeyiz, demeliyiz.

 

3. Görüş (Nasreddin Hoca Yaklaşımı): Hangi görüşü benimsediğinize göre sorunun cevabı değişir. Birinci görüşü benimseyenler haklıdır, ikinci görüşü benimseyenler de haklıdır. Herkesin limit tanımı kendine.

-Nasreddin hocam ikisi birden haklı olur mu hiç?

+Sen de haklısın!

 

Ek Soru: Limit varsa, bunu delta-epsilon tekniği ile gösterelim.

Ben biraz ilerlettim ve şöyle bir şeyler oluştu.

Her ϵ>0 için |x|<δ iken |f(x)3|<ϵ olacak biçimde bir ϵ=ϵ(δ) sayısı bulunabildiğini göstermeliyiz. Burada f(x)=x+31+x fonksiyonudur.

|f(x)3|=|x3x1+x| ifadesinde 0x9 için x3x1+x0 dır. x'in 0'a yakın bir pozitif gerçel sayı olduğunu düşünerek işlemlerimizi yapalım. (x>9 iken de ayrıca bir inceleme gerekecektir, fakat bu basamak zor olmasa gerek.)

 

|f(x)3|=|x3x1+x|=|x+x1+x4x+41+x+41+x|=|x4+41+x|=4x41+x

elde ettim. 4x41+x1 olduğunu kanıtlayabilirim ama 4x41+xϵ(δ) biçiminde bir ifade bulmalıydım. ϵ=1+δ seçsek sıkıntı olur mu? Maks. değer hesabına girmeden daha basit bir çözüm varsa ekleyebilirsiniz. Teşekkürler.

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 689 kez görüntülendi

Soruya bir ekleme koydum. İsterseniz yorumunuzu da cevaba dönüştürebilirsiniz Doğan hocam. Teşekkürler.

0 'dan bakmaya hakkımız var mı?

Eğer bu düşünceye göre limx0x limiti olmaz, yanlışım varsa lütfen düzeltin
ε değil δ bulmak gerekiyor.

@sametoytun, bir fonksiyon yazarken her zaman fonksiyonun tanım kümesi açık açık belirtilmeyebilir. Özel bir durum yoksa çoğu zaman fonksiyonun sadece kuralı yazılır. Bu durumda okur, sadece kuralı verilen fonksiyonun tanım kümesinin ne olduğunu fonksiyonun kuralına göre kendisi anlar. f(x)=x+31+x kuralı ile verilen f fonksiyonunun tanım kümesi, x yerine geldiğinde x+31+x ifadesini gerçel sayı yapan gerçel sayıların oluşturduğu küme alınır. Burada da bu küme [0,) aralığıdır. 0 gerçel sayısı, [0,) aralığının bir soldan yığılma noktası olmadığı için limx0x+31+x=? sorusu ANLAMSIZ bir sorudur. Burada artık limx0x+31+x=limx0+x+31+x yani limx0x+31+x=3 olacaktır.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Sağdan limit, soldan limit kavramları gerçel sayılarda (ve az sayıda başka uzayda) tanımlı fonsiyonlar için anlamlı kavramlardır.

Genel topolojik uzaylarda, sağ (büyük), sol (küçük) kavramları anlamsızdır.

Üniversite 1. sınıfta çok değişkenli fonksiyonlar incelendiğinde, sağdan soldan limit anlamsızlaşır. Orada, bazan, sağdan soldan limitlere kısmen benzeyen doğrular/eğriler boyunca limitler kullanılır. 

Genel topolojik uzaylarda limit kavramı (fonksiyonun tanım kümesinin yığılma (=limit noktası da deniyor) noktalarında) (sadece topolojik kavramlar kullanarak) benzer şekilde tanımlanabilir. Metrik uzaylar söz konusu ise, bu (topolojik) tanım εδ tanımının nerdeyse aynısı olur.

Fonksiyonun hedef uzayı Hausdorff ise limit (varsa) tek olur.

Bu örnekte, fonksiyonun tanım kümesi (murad.ozkoc un da belirttiği gibi) tanım kümesi (alışılmış kabuller ile) [0,+) olup, 0 sayısı, fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktasıdır. 

O tanıma göre (R lerde standart topoloji kullanıldığında) bu limit 3 olur:

Bir ε>0 sayısı verilsin. δ=min{ε29,1} alalım. 0<|x|<δ ve x[0,+) olduğunda

(0<x<1 olur, ilk eşitlik soruda gösterilmiş) |f(x)3|=x(3x)1+x<3x<3δε olur.

Edit: Bir kaç yazım hatasını düzelttim.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,905 kullanıcı